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<title>蝠池書閤</title>
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<name>蝙蝠猫BatBattery</name>
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<title>小蝠猫学算法#4——[线性表表示]</title>
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<published>2024-07-17T12:55:00.000Z</published>
<updated>2024-10-05T07:14:39.063Z</updated>
<content type="html"><![CDATA[ <div class="note-large orange"> <div class="notel-title rounded-t-lg p-3 font-bold text-lg flex flex-row gap-2 items-center"> <p>文章寄语</p> </div> <div class="notel-content"> <p><strong>命运负责洗牌和发牌，而我们只能出牌。</strong><br> <em>—— 叔本华<<人生的智慧>></em></p> </div> </div><hr><h3 id="引言"><a href="#引言" class="headerlink" title="引言"></a>引言</h3><p><strong>数据结构笔记第四篇。线性表的顺序表示[考纲有此内容]</strong></p><p>知识点大致按照《Hello!算法》书籍进行。因为数据结构与算法在非常多的考试中都有。</p><p>本人基础较弱，可能会有许多错误，恳请批评指正。</p><p><strong>下面是几个上述提到的链接：</strong></p><a class="button regular" href="https://www.hello-algo.com" title="《Hello!算法》网页版"><i class="fa-brands fa-codepen"></i> 《Hello!算法》网页版</a><a class="button regular" href="https://ncre.neea.edu.cn/html1/folder/1507/770-1.htm" title="全国计二级官网"><i class="fa-brands fa-codepen"></i> 全国计二级官网</a><a class="button regular" href="https://www.luogu.com.cn/training/list" title="洛谷官网-刷题可用"><i class="fa-brands fa-codepen"></i> 洛谷官网-刷题可用</a><p><strong>星空如此灿烂，灯塔与之响应。出发吧</strong></p><hr><h3 id="第四节-线性表的顺序表示"><a href="#第四节-线性表的顺序表示" class="headerlink" title="第四节 线性表的顺序表示"></a>第四节 线性表的顺序表示</h3><h4 id="线性表定义"><a href="#线性表定义" class="headerlink" title="线性表定义"></a>线性表定义</h4><p>线性表是具有相同数据类型的有限序列。特点如下：</p><ul><li>表长为0时,表中没有元素,为空表.</li><li>第一个元素称为表头元素，最后一个元素称为表尾元素。</li><li>简单来讲，直接后驱即除了表尾，每个元素的后面有且仅有一个元素；直接前驱即除了表头，每个元素的前面有且仅有一个元素。即具有逻辑上的顺序性。</li><li>因为相同数据类型，每个元素占用的空间相同。</li><li>仅讨论逻辑性，即每个元素的位置和逻辑关系等。不会去关心这些元素到底是什么。</li></ul><h4 id="线性表的基本操作"><a href="#线性表的基本操作" class="headerlink" title="线性表的基本操作"></a>线性表的基本操作</h4><p><strong>主要操作：</strong></p><ul><li><code>InitList(&L);</code>初始化表，构造一个名为L的空线性表。涉及实际修改，可加引用。</li><li><code>Length(L);</code>统计表L中元素的个数。</li><li><code>LocateElem(L, e);</code>定位元素，在L中按值查找值为e的元素。</li><li><code>GetElem(L, i);</code>获取元素，在L中按位获取第i位的元素。</li><li><code>ListInsert(&L, i, e);</code>插入元素，在L中的第i位前插入元素e。涉及实际修改，可加引用。</li><li><code>ListDelete(&L, i, &e);</code>删除元素，删除L中的第i位元素，并返回被删除的e的值。涉及实际修改，可加引用。</li><li><code>PrintList(L);</code>遍历输出L的所有元素。</li><li><code>Empty(L);</code>判断L是否是空表。</li><li><code>DestroyList(&L);</code>销毁线性表，释放内存。涉及实际修改，可加引用。</li></ul><div class="highlight-container" data-rel="C++"><figure class="iseeu highlight c++"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="type">void</span> <span class="title">swap</span><span class="params">(<span class="type">int</span> &x, <span class="type">int</span> &y)</span> </span>{</span><br><span class="line"> <span class="type">int</span> temp = x;</span><br><span class="line"> x = y;</span><br><span class="line"> y = temp;</span><br><span class="line">}</span><br><span class="line"><span class="function"><span class="type">int</span> <span class="title">main</span><span class="params">()</span> </span>{</span><br><span class="line"> <span class="type">int</span> a = <span class="number">5</span>;</span><br><span class="line"> <span class="type">int</span> b = <span class="number">10</span>;</span><br><span class="line"> <span class="built_in">swap</span>(a, b);</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p>在以上例子中，主要的功能是交换两个数字的值。有时候可能会写 <code>int swap(int x, int y)</code>。</p><p>但是这种情况下写到最后会发现，咦，函数一般不是都是返回一个值吗？如果返回两个值，那我该怎么办？</p><h5 id="引用号’-’的意义"><a href="#引用号’-’的意义" class="headerlink" title="引用号’&’的意义"></a>引用号’&’的意义</h5><p>后来我发现，c++里面有一个 <code>&</code>符号可以使用。这是一种元素别名，他可以直接控制原变量的值。</p><p>如果在主函数内定义好了a和b的值后使用 <code>swap(a, b)</code>传入，并在 <code>void swap(int &x, int &y)</code>内开始处理后，</p><p>因为 <code>&</code>引用号需要一个东西来绑定。上述代码使用了 <code>&</code>后，<strong>x即和a绑定，y即和b绑定</strong>。</p><p>现在在函数内部 <code>void swap(int &x, int &y)</code>中对x，y的修改，便会同步到外部的a，b上。<strong>对引用的操作等同于对原始变量的操作</strong>。</p><p>问题就解决了。函数内的x，y可以直接对主函数的a，b进行改写。不需要考虑返回多个值的苦恼了。</p><h5 id="引用号’-’的使用场景"><a href="#引用号’-’的使用场景" class="headerlink" title="引用号’&’的使用场景"></a>引用号’&’的使用场景</h5><p>x，y是变量需要声明，且声明时就应该直接和变量绑定并初始化，不能改绑。且若将引用作为函数参数时。函数内直接用就行不需要重复定义。</p><p>若涉及到对主函数变量的修改，就可以添加引用号。如果没有实际操作可以不用，引用不占用额外内存空间。</p><h5 id="引用号’-’和指针号’-’的对比"><a href="#引用号’-’和指针号’-’的对比" class="headerlink" title="引用号’&’和指针号’*’的对比"></a>引用号’&’和指针号’*’的对比</h5><p>指针的本质是一种数据类型，用于存储内存地址。因为数据访问都会通过内存地址，相当于直接操纵底层，所以使用指针得特别小心。</p><p>如果造成空指针，野指针事件，很可能造成所有数据的损坏，或者指向了一个不存在的地址，而导致崩溃报错。</p><p>但是引用就不一样了，它只是一种元素别名，不操控内存，对引用的操作只操控原始元素。其他不是他要管的，所以比较安全。</p><h4 id="顺序表定义"><a href="#顺序表定义" class="headerlink" title="顺序表定义"></a>顺序表定义</h4><h5 id="线性表—顺序表"><a href="#线性表—顺序表" class="headerlink" title="线性表—顺序表"></a>线性表—顺序表</h5><p>顺序存储即顺序表，将相同类型的元素按顺序放置在一个连续的内存中。元素在顺序表中的位次和在内存中的相同。位次称作为元素在这个表中的”索引”，即逻辑顺序与其存储的物理顺序相同。</p><p>因为相同元素类型，分配给每个元素的内存大小都是相同的。可以通过索引和首地址轻松的算出任何元素的内存地址。</p><p><strong>假设索引从0开始，首元素地址为00，每个元素分到4字节：</strong></p><ul><li>第0个元素内存地址为：00</li><li>第1个元素内存地址为：00 + 4 * 1</li><li>第n-1个元素内存地址为：00 + 4 * (n - 1)</li></ul><p>所以可以任意算出任何内存地址：首元素地址 + 元素大小 * 当前元素索引。这个性质也叫做”随机存取”。</p><p><figure class="image-caption"><img lazyload="" src="/images/loading.svg" data-src="https://www.hello-algo.com/chapter_array_and_linkedlist/array.assets/array_definition.png" alt="数组定义与存储方式"><figcaption>数组定义与存储方式</figcaption></figure></p><h5 id="线性表—数组"><a href="#线性表—数组" class="headerlink" title="线性表—数组"></a>线性表—数组</h5><p>数组是顺序存储的一种常见形式。他可以静态分配内存，也可以动态分配内存。</p><p>索引和位序是不一样的。位序从1开始，类似于座位。索引从0开始，我也举不出例子。</p><h6 id="静态分配内存"><a href="#静态分配内存" class="headerlink" title="静态分配内存"></a>静态分配内存</h6><p>静态分配即提前约定顺序表长度。因为同类型元素，每个元素所占的内存空间均相同的。所以总空间即元素个数 * 元素大小。</p><p>如果访问时超过这个大小，就会出现”数组越界” (<em>ArrayIndexOutOfBoundsException</em>)报错。 解决办法也很简单，要不扩大数组，要不删除元素。</p><p>C语言中，字符串数组的末尾会包含结束符\0。意味着如果长度为是5位，因为包含\0，他读到第4位就会停止，可能会忽略第5位。</p><h6 id="动态分配内存"><a href="#动态分配内存" class="headerlink" title="动态分配内存"></a>动态分配内存</h6><p>动态分配会提前申请一大块内存，将这些元素存入。当顺序表占满后，如果还有元素存入，他会重新申请更大的内存。当这块内存使用完毕时，使用free()函数释放内存。</p><p>如果忘记使用free()函数，可能会导致内存泄露，占用巨量内存。除了malloc()函数，还可以使用calloc()函数动态分配内存。</p><ul><li>malloc()需要1个参数，告诉申请开辟多少内存空间，单位是字节。空间值可能随机。</li><li>calloc()需要2个参数，需要分开告诉申请个数和元素大小。同时会把空间值全部初始化为0。</li></ul><p><strong>c的动态分配：</strong> 使用malloc函数开辟。ElemType指当前元素数据类型，sizeof指获取当前元素大小，initsize指初始表长。即malloc了一个元素大小*个数的内存空间。</p><div class="highlight-container" data-rel="C"><figure class="iseeu highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">L.data = (ElemType*)<span class="built_in">malloc</span>(<span class="keyword">sizeof</span>(ElmeType) * InitSize);</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p><strong>c++的动态分配：</strong> 使用new函数开辟。ElemType指当前元素数据类型，initsize指初始表长。即new了一个ElemType类型初始个数为initsize的内存空间。</p><div class="highlight-container" data-rel="C++"><figure class="iseeu highlight c++"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">L.data = <span class="keyword">new</span> ElmeType[InitSize];</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p>还可以使用vector等来动态管理顺序表。通过insert插入元素，自动管理新增元素和内存分配。</p><h4 id="顺序表的基本操作"><a href="#顺序表的基本操作" class="headerlink" title="顺序表的基本操作"></a>顺序表的基本操作</h4><h5 id="Ⅰ-初始化元素"><a href="#Ⅰ-初始化元素" class="headerlink" title="Ⅰ.初始化元素"></a>Ⅰ.初始化元素</h5><p>当未指定初始值初始化时，若该变量使用四则运算时会出现问题，最好还是指定初始值。变量会被另外的值覆盖时，可以不给初始值。</p><h5 id="Ⅱ-访问元素"><a href="#Ⅱ-访问元素" class="headerlink" title="Ⅱ.访问元素"></a>Ⅱ.访问元素</h5><p><figure class="image-caption"><img lazyload="" src="/images/loading.svg" data-src="https://www.hello-algo.com/chapter_array_and_linkedlist/array.assets/array_memory_location_calculation.png" alt="数组元素的内存地址计算"><figcaption>数组元素的内存地址计算</figcaption></figure></p><p>因为”随机存取”，计算任意元素的内存地址非常容易。且从地址计算的角度看，索引*长度本质上是内存地址的偏移量，正是通过这个偏移量，才能求出其他位置的元素地址。</p><p>顺序表中访问元素的时间复杂度为常数级。</p><h5 id="Ⅲ-遍历元素"><a href="#Ⅲ-遍历元素" class="headerlink" title="Ⅲ.遍历元素"></a>Ⅲ.遍历元素</h5><p>可以用索引下标遍历，也可以用for等语句直接遍历。</p><h5 id="Ⅳ-插入元素"><a href="#Ⅳ-插入元素" class="headerlink" title="Ⅳ.插入元素"></a>Ⅳ.插入元素</h5><p>因为元素在顺序表中和在内存中均是”连续存储”。当有人插队，此位置之后的所有人均要往后退一步，腾出位置才能让其插入。</p><p>如果插入时顺序表已满，就会插入失败，可能导致尾部元素丢失。</p><div class="highlight-container" data-rel="C++"><figure class="iseeu highlight c++"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">//对数组L的第i位插入数据类型为ElemType的元素e</span></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="type">bool</span> <span class="title">ListInsert</span> <span class="params">(SqList &L, <span class="type">int</span> i, ElemType e)</span></span></span><br><span class="line"><span class="function"></span>{</span><br><span class="line"> <span class="comment">//范围为1~长度+1。为何是长度+1？因为可以加在末尾。</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span>(i < <span class="number">1</span> || i > L.length + <span class="number">1</span>)</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> <span class="literal">false</span>;</span><br><span class="line"> <span class="comment">//如果大于等于最大个数，表明顺序表已满。</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span>(L.length >= MaxSize)</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> <span class="literal">false</span>;</span><br><span class="line"> <span class="comment">//插入元素位置后的元素全部后移，倒序遍历为佳。</span></span><br><span class="line"> <span class="comment">//从末位遍历到指定位置i。并将当前位置的值赋给后一位，完成元素后移。</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">for</span>(<span class="type">int</span> j = L.length; j >= i; j--)</span><br><span class="line"> L.data[j] = L.data[j - <span class="number">1</span>];</span><br><span class="line"> L.data[i - <span class="number">1</span>] = e;</span><br><span class="line"> L.length ++;</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> <span class="literal">true</span>;</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p>如果把 <code>L.data[j] = L.data[j - 1];</code>代码换成 <code>L.data[j + 1] = L.data[j];</code>，虽然看起来功能相同，但是在数组L中，第length+1位是不存在的，会导致报错。</p><p><figure class="image-caption"><img lazyload="" src="/images/loading.svg" data-src="https://www.hello-algo.com/chapter_array_and_linkedlist/array.assets/array_insert_element.png" alt="数组插入元素"><figcaption>数组插入元素</figcaption></figure></p><p>对于这段代码，最坏的情况下是在头部插入，那么所有元素都要往后移一位。因此顺序表插入元素算法的时间复杂度是线性阶 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.221ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2307.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 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data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 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title="Ⅷ.扩容元素"></a>Ⅷ.扩容元素</h5><p>扩容元素一般是重新申请更大的内存块，而不是扩容，扩容未知可能把内存撑爆。通过重新建立一个更大的数组，把原来的元素全部复制过去来完成。</p><p>因为要全部遍历一遍，所以是线性阶。在数组个数过于庞大时，重新申请会浪费较多的资源，这时候只能找别的办法。</p><h4 id="顺序表的优缺点"><a href="#顺序表的优缺点" class="headerlink" title="顺序表的优缺点"></a>顺序表的优缺点</h4><p>优点密度高，支持随机访问，还有一个书上的*缓存局部性(数组加载时还会加载周围的数据)*。</p><p>缺点增删查都是线性阶 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.221ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2307.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(989,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> ，元素个数庞大时效率低，占用大块内存，对空间的使用不太灵活。</p><h3 id="总结"><a href="#总结" class="headerlink" title="总结"></a>总结</h3> <div class="note-large green"> <div class="notel-title rounded-t-lg p-3 font-bold text-lg flex flex-row gap-2 items-center"> <p>文章结语</p> </div> <div class="notel-content"> <p><strong>我们现在所做的，只不过是我们自认为动态规划中的贪心罢了。</strong><br> <em>——博客园某用户</em></p> </div> </div><hr><p><strong>笔记完毕 编辑完毕时间CST 7.18 22:55</strong></p><p>最后编辑时间8.15 23:40</p>]]></content>
<summary type="html">数据结构笔记第三篇。线性表的顺序表示。知识点按照《Hello!算法》书籍进行。我先写粗略的笔记，到时候遇到什么问题，我会写补充笔记。纸质笔记优先...</summary>
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<title>蝠猫学算法#2——算法概念</title>
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<published>2024-07-12T03:03:00.000Z</published>
<updated>2024-10-05T06:28:48.545Z</updated>
<content type="html"><![CDATA[ <div class="note-large orange"> <div class="notel-title rounded-t-lg p-3 font-bold text-lg flex flex-row gap-2 items-center"> <p>文章寄语</p> </div> <div class="notel-content"> <p><strong>无聊的并不是时间，而是平庸无奇的我。</strong><br> <em>—— <<樱花庄的宠物女孩>></em></p> </div> </div><hr><h3 id="引言"><a href="#引言" class="headerlink" title="引言"></a>引言</h3><p><strong>数据结构笔记第二篇。数据结构和算法的概念[考纲无此内容]</strong></p><p>知识点大致按照《Hello!算法》书籍进行。因为数据结构与算法在非常多的考试中都有。</p><p>本人基础较弱，可能会有许多错误，恳请批评指正。</p><p><strong>下面是几个上述提到的链接：</strong></p><a class="button regular" href="https://www.hello-algo.com" title="《Hello!算法》网页版"><i class="fa-brands fa-codepen"></i> 《Hello!算法》网页版</a><a class="button regular" href="https://ncre.neea.edu.cn/html1/folder/1507/770-1.htm" title="全国计二级官网"><i class="fa-brands fa-codepen"></i> 全国计二级官网</a><a class="button regular" href="https://www.luogu.com.cn/training/list" title="洛谷官网-刷题可用"><i class="fa-brands fa-codepen"></i> 洛谷官网-刷题可用</a><p><strong>星空如此灿烂，灯塔与之响应。出发吧</strong></p><hr><h3 id="第二节-数据结构和算法的概念"><a href="#第二节-数据结构和算法的概念" class="headerlink" title="第二节 数据结构和算法的概念"></a>第二节 数据结构和算法的概念</h3><h4 id="数据结构的基本概念"><a href="#数据结构的基本概念" class="headerlink" title="数据结构的基本概念"></a>数据结构的基本概念</h4><p>数据结构是组织和存储数据的方式，涵盖数据内容、数据之间关系和数据操作方法.</p><p>以下三者属于包含关系，数据 > 数据元素 > 数据项。数据项是最小单位。</p><h5 id="Ⅰ-数据"><a href="#Ⅰ-数据" class="headerlink" title="Ⅰ.数据"></a>Ⅰ.数据</h5><p>数据是信息的载体。是计算机加工的原料，由二进制0和1组成。相当于一整套积木。</p><h5 id="Ⅱ-数据元素"><a href="#Ⅱ-数据元素" class="headerlink" title="Ⅱ.数据元素"></a>Ⅱ.数据元素</h5><p>数据元素是数据的基本单位，但不是最小单位。它通常是一个整体。相当于未拼装积木。</p><h5 id="Ⅲ-数据项"><a href="#Ⅲ-数据项" class="headerlink" title="Ⅲ.数据项"></a>Ⅲ.数据项</h5><p>数据项是构成数据元素的最小单位。若干数据项组成了数据元素。相当于单块积木。</p><h5 id="Ⅳ-数据对象"><a href="#Ⅳ-数据对象" class="headerlink" title="Ⅳ.数据对象"></a>Ⅳ.数据对象</h5><p>数据对象是具有相同性质的数据元素的集合，为数据子集。相当于同形状的积木。</p><h5 id="Ⅴ-数据类型"><a href="#Ⅴ-数据类型" class="headerlink" title="Ⅴ.数据类型"></a>Ⅴ.数据类型</h5><p>与程序中的数据类型不同，这里是相似的数据所拥有的共同特征。</p><p><strong>有以下三种类型：</strong></p><ul><li>原子类型：不可以再分的数据类型。比如整型浮点型等。</li><li>结构类型：可以再分的数据类型，可以由多种数据类型组成。比如结构体等。</li><li>抽象数据类型：复杂数据类型，包含一种操作或结构形式。比如栈，队列，树等。</li></ul><h5 id="Ⅵ-数据结构"><a href="#Ⅵ-数据结构" class="headerlink" title="Ⅵ.数据结构"></a>Ⅵ.数据结构</h5><p>数据和数据之间有紧密关系，不孤立存在。分为逻辑结构，存储结构和数据运算。</p><p>相当于积木之间形状、大小、和连接方式等。</p><h4 id="数据结构三要素-逻辑-存储-运算"><a href="#数据结构三要素-逻辑-存储-运算" class="headerlink" title="数据结构三要素[逻辑,存储,运算]"></a>数据结构三要素[逻辑,存储,运算]</h4><h5 id="逻辑结构"><a href="#逻辑结构" class="headerlink" title="逻辑结构"></a>逻辑结构</h5><p>数据之间的逻辑关系，有线性和非线性。其实线性不线性的，可以看数据之间是不是一条线，是就线性，不是就非线性。</p><p>所以：链表，数组，栈，队列等都是线性的。如树，图就为非线性。</p><p>非线性还可以再分：</p><ul><li><strong>集合</strong>：游离，仅在同一个框中罢了。</li><li><strong>线性</strong>：仅为一对一，逻辑关系上呈线性排列。</li><li><strong>树形</strong>：一对多，仅限根节点和父节点上可包含多个子节点。子节点和子节点之间没有关联。</li><li><strong>图/网形</strong>：多对多，每一节点均可包含多个其他节点。</li></ul><p>不过哈希表例外，它是一种特殊的数据结构，既可以包含线性结构，又可以包含非线性结构。</p><h5 id="存储结构"><a href="#存储结构" class="headerlink" title="存储结构"></a>存储结构</h5><p>即数据存放在内存中的位置：</p><ul><li><strong>顺序存储</strong>：如数组，相邻的两个数在内存里也是相邻的。即连续存放。优点占用少；已知首元素地址，可推算任意元素的地址。缺点使用大块内存；碎片率高。</li><li><strong>链式存储</strong>：如链表，不需连续存放，可在随机地址中存放但以指针链接。优点碎片率低。缺点因节点均包含数值 + 指针，占用高；寻找节点只能遍历。</li><li><strong>索引存储</strong>：如字典，以”键值对”存放。就像书的目录一样，可快速查找内容。优点寻找快。缺点占用额外空间比较多。</li><li><strong>散列存储</strong>：如散列表，即哈希表。可用键或值直接计算出任意某元素的地址来寻找元素。优点增删查的速度非常快。缺点会出现哈希冲突。</li></ul> <div class="note-large purple"> <div class="notel-title rounded-t-lg p-3 font-bold text-lg flex flex-row gap-2 items-center"> <p>关于碎片率</p> </div> <div class="notel-content"> <p>所谓<strong>碎片率和大小块内存</strong>，就好比一个已经装了一点东西的抽屉：<br>大块内存像一本大相册，勉强能塞进去。但是旁边会留下很多空隙，这些空隙只能放一些小东西了。这些空隙呢，就是碎片。<br>碎片率高就是空隙多，碎片率低就是空隙少。平时的碎片整理就是在整理一个装满东西的抽屉。<br>碎片整理的过程就是将这些空隙尽量减少，使得空间更加紧凑，从而能够存放更多的东西。</p> </div> </div><h5 id="数据运算"><a href="#数据运算" class="headerlink" title="数据运算"></a>数据运算</h5><p>包括定义和实现。定义是逻辑，主要是功能。实现是存储，主要是步骤。</p><h4 id="算法的基本概念"><a href="#算法的基本概念" class="headerlink" title="算法的基本概念"></a>算法的基本概念</h4><p>算法是在有限时间内解决特定问题的一组指令或操作步骤。</p><p>相当于把积木拼成完整的，一系列操作步骤。</p><h5 id="算法的重要特性"><a href="#算法的重要特性" class="headerlink" title="算法的重要特性"></a>算法的重要特性</h5><p>算法的重要特性有5个：**[大前提是问题必须是明确的]**</p><ul><li><strong>有穷性</strong>：算法必须在有限时间，有限步数和有限空间内完成。</li><li><strong>确定性</strong>：写的每一句话都必须有实际含义。相同输入应始终返回相同的输出。</li><li><strong>可行性</strong>：写的每一句话都应该可以执行。</li><li><strong>输入</strong>：可以没有输入,或者一个输入，或者多个输入。</li><li><strong>输出</strong>：必须有个输出。不能没有输出。</li></ul><h5 id="评价优秀算法的”得分点”"><a href="#评价优秀算法的”得分点”" class="headerlink" title="评价优秀算法的”得分点”"></a>评价优秀算法的”得分点”</h5><p>优秀算法应该拥有以下目标：</p><ul><li><strong>正确性</strong>：对于每一组输入/函数内部，返回都与预期相符合。</li><li><strong>可读性</strong>：即有可读性。能让自己和别人理解这段代码干了什么，拥有简洁的数据表示和逻辑信息。</li><li><strong>健壮性</strong>：可以抵御错误输入，或者是非法输入。程序有错误处理机制。</li><li><strong>高效率低储存</strong>：解决问题的核心。我们总想让用时和空间越小越好。但通常事与愿违。偏向空间换时间，在特定问题中，时间换空间也可以。</li></ul><h4 id="数据结构和算法之间的关系"><a href="#数据结构和算法之间的关系" class="headerlink" title="数据结构和算法之间的关系"></a>数据结构和算法之间的关系</h4><p>例图如下:</p><ul><li>数据结构是算法的基石。它为算法提供了结构化存储的数据，以及方法。</li><li>算法是数据结构发挥作用的舞台。数据结构本身仅存储数据信息，结合算法才能解决特定问题。</li><li>算法可以基于不同的数据结构实现，但执行效率可能相差很大，选择合适的数据结构是关键。</li></ul><p><figure class="image-caption"><img lazyload="" src="/images/loading.svg" data-src="https://www.hello-algo.com/chapter_introduction/what_is_dsa.assets/relationship_between_data_structure_and_algorithm.png" alt="数据结构与算法的关系"><figcaption>数据结构与算法的关系</figcaption></figure></p><hr><h3 id="书后习题笔记"><a href="#书后习题笔记" class="headerlink" title="书后习题笔记"></a>书后习题笔记</h3><h4 id="数据结构概念"><a href="#数据结构概念" class="headerlink" title="数据结构概念"></a>数据结构概念</h4><h5 id="选择题笔记"><a href="#选择题笔记" class="headerlink" title="选择题笔记"></a>选择题笔记</h5><p>①数据结构包含三要素，逻辑，存储，运算。分离的基本单位算不上有三个。只有抽象类型里面有这三个。</p><p>②逻辑仅仅是一种关系，和别的没关系。但是存储如果要知道是怎么放的，放在哪里的话，要逻辑告诉他。</p><p>③哈希表，单链表里面说明了存储方式是散列/链式。顺序表是顺序存储。只有有序表只有”有序”。</p><h5 id="应用题笔记"><a href="#应用题笔记" class="headerlink" title="应用题笔记"></a>应用题笔记</h5><p>①链表和数组，逻辑一样存储不一样。二叉树和数组/链表，逻辑不一样存储一样。</p><p>②数组和链表，相同逻辑不同存储。现在我在两者中间均添加或删除元素[同种运算]。</p><p>数组连续存储，添加时需要将某位置后的所有元素全部往后或往前推一位，以腾出/占据空间。</p><p>数据量大时，这个操作非常的麻烦。但链表不为连续存储，其可在任意部位存储。只要把”链”断开再重新连接就好了，效率明显不同。</p><h4 id="算法概念和时间空间复杂度"><a href="#算法概念和时间空间复杂度" class="headerlink" title="算法概念和时间空间复杂度"></a>算法概念和时间空间复杂度</h4><h5 id="选择题笔记-1"><a href="#选择题笔记-1" class="headerlink" title="选择题笔记"></a>选择题笔记</h5><p>①算法是有限时间内解决特定问题的一组指令或步骤。剩下的只是特性罢了。</p><p>②判断时间复杂度，只需抓大头。但是在复杂的情况下还是不太清楚。</p><h3 id="结语"><a href="#结语" class="headerlink" title="结语"></a>结语</h3> <div class="note-large green"> <div class="notel-title rounded-t-lg p-3 font-bold text-lg flex flex-row gap-2 items-center"> <p>文章结语</p> </div> <div class="notel-content"> <p><strong>我一直都在你身边 ，一直都在。</strong><br> <em>——CLANNAD</em></p> </div> </div><hr><p><strong>笔记完毕 编辑完毕时间CST 7.12 23:43</strong></p><p>最后修改于9.27 19:00</p>]]></content>
<summary type="html">数据结构笔记第二篇。数据结构和算法的概念。知识点大致按照《Hello!算法》书籍进行。我先写粗略的笔记，到时候遇到什么问题，我会写补充笔记。纸质笔记优先。主要还是自己没事回顾...</summary>
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<title>蝠猫学算法#3——算法效率度量</title>
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<published>2024-06-28T16:53:00.000Z</published>
<updated>2024-10-05T05:46:56.642Z</updated>
<content type="html"><![CDATA[ <div class="note-large orange"> <div class="notel-title rounded-t-lg p-3 font-bold text-lg flex flex-row gap-2 items-center"> <p>文章寄语</p> </div> <div class="notel-content"> <p><strong>mi promesas trovi vin,do ankaŭ vi, bonvolu ne plu dubu.(我一定会找到你，所以也请你，不要再怀疑。)</strong><br> <em>—— <<星灵感应>></em></p> </div> </div><hr><h3 id="引言"><a href="#引言" class="headerlink" title="引言"></a>引言</h3><p><strong>数据结构笔记第三篇。算法效率的度量[考纲有此内容]</strong></p><p>知识点大致按照《Hello!算法》书籍进行。因为数据结构与算法在非常多的考试中都有。</p><p>本人基础较弱，可能会有许多错误，恳请批评指正。</p><p><strong>下面是几个上述提到的链接：</strong></p><a class="button regular" href="https://www.hello-algo.com" title="《Hello!算法》网页版"><i class="fa-brands fa-codepen"></i> 《Hello!算法》网页版</a><a class="button regular" href="https://ncre.neea.edu.cn/html1/folder/1507/770-1.htm" title="全国计二级官网"><i class="fa-brands fa-codepen"></i> 全国计二级官网</a><a class="button regular" href="https://www.luogu.com.cn/training/list" title="洛谷官网-刷题可用"><i class="fa-brands fa-codepen"></i> 洛谷官网-刷题可用</a><p><strong>星空如此灿烂，灯塔与之响应。出发吧</strong></p><hr><h3 id="第三节-时间和空间复杂度"><a href="#第三节-时间和空间复杂度" class="headerlink" title="第三节 时间和空间复杂度"></a>第三节 时间和空间复杂度</h3><h4 id="时间复杂度"><a href="#时间复杂度" class="headerlink" title="时间复杂度"></a>时间复杂度</h4><h5 id="时间增长趋势"><a href="#时间增长趋势" class="headerlink" title="时间增长趋势"></a>时间增长趋势</h5><p>时间复杂度评估代码的运行时间。</p><p>比如现在我有三个循环，A只循环一次，B循环n次，C循环1000次。怎么判断这三者的时间复杂度？</p><p>很简单，可以使用高数中极限的概念理解 ，具体如下：</p><ul><li>A的时间复杂度为: 极限结果不受n影响，不管n取多少都是1，称之 <strong>“常数阶”</strong> 复杂度。<br><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true"><svg style="vertical-align: -1.601ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.668ex" height="3.171ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2505.1 1401.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munder"><g data-mml-node="mo" transform="translate(224.7,0)"><path data-c="6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 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48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z" transform="translate(500,0)"></path><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z" transform="translate(1000,0)"></path><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z" transform="translate(1500,0)"></path></g></g></g></svg></mjx-container></li></ul><p>这里就可以看到，只要n的取值大于1000，常数阶复杂度一定优于线性阶。同时AC复杂度其实相同。</p><h5 id="函数渐进上界"><a href="#函数渐进上界" class="headerlink" title="函数渐进上界"></a>函数渐进上界</h5><p>书里那个什么渐进上界我看不明白，我还以为是高数里函数有界性的那个上界。但是没看懂不要紧。</p><p>只需要明白复杂度的符号是一个大O即可。然后针对特定代码，就像下面这段：</p><div class="highlight-container" data-rel="C++"><figure class="iseeu highlight c++"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="type">void</span> <span class="title">algorithm</span><span class="params">(<span class="type">int</span> n)</span> </span>{</span><br><span class="line"> <span class="comment">//以下语句一共操作了3次</span></span><br><span class="line"> <span class="type">int</span> a = <span class="number">1</span>; </span><br><span class="line"> a = a + <span class="number">1</span>; </span><br><span class="line"> a = a * <span class="number">2</span>; </span><br><span class="line"> <span class="comment">//一次循环均有i++和输出操作，一共2n次</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">for</span> (<span class="type">int</span> i = <span class="number">0</span>; i < n; i++) { </span><br><span class="line"> cout << <span class="number">0</span> << endl; </span><br><span class="line"> }</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p>所以这段代码一共操作了 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.386ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2822.4 748"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1322.2,0)"><path data-c="2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2322.4,0)"><path data-c="33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 次,操作数用T(n)表示，所以操作数一共是:</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.49ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6404.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 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367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3327.4,0)"><path data-c="2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4327.6,0)"><path data-c="33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>极限中斜率最大的函数占优势。所以时间复杂度为 <strong><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.352ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2807.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(889,0)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1489,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></strong></p><p>因为系数c = 2不确定，他可以取任意大小，舍弃。最终的结果为 <strong><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.221ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2307.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 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-76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></strong>,即”线性阶”复杂度。</p><p>例拿上面的[2n+3]举例，总有这个式子成立：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.163ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 8911.9 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 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725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>函数极有界结果必然存在。所以抓出 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.087ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2248.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 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24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(633,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>成立。因为系数忽略不计，所以它的时间复杂度为 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.791ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.521ex" height="2.713ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -849.5 2882.2 1199"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><path data-c="28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(458,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(633,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1494.6,0) translate(0 -0.5)"><path data-c="29" d="M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 -347T35 -338Q37 -333 60 -307T108 -239T160 -136T204 27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container>。即”平方阶”复杂度.</p><h5 id="时间推算方法"><a href="#时间推算方法" class="headerlink" title="时间推算方法"></a>时间推算方法</h5><p>函数增长趋势，也就是斜率。不会受系数c和加减常数影响。</p><p><strong>推算方法回顾:</strong></p><ul><li>忽略所有常数。</li><li>忽略所有系数。</li><li>嵌套使用乘法，顺序使用加法。</li><li>在操作数趋向于无穷时进行比较。</li></ul><p><figure class="image-caption"><img lazyload="" src="/images/loading.svg" data-src="https://img.picui.cn/free/2024/06/29/667ff644f20e8.png" alt="img"><figcaption>img</figcaption></figure></p><p>在操作数趋向于无穷时，复杂度从低到高分别为：常数阶 < 对数阶 < 线性阶 < 线性对数阶 < 平方阶 < 指数阶 < 阶乘阶。</p><h5 id="常见复杂度类型"><a href="#常见复杂度类型" class="headerlink" title="常见复杂度类型"></a>常见复杂度类型</h5><h6 id="1-常数阶-O-left-1-right"><a href="#1-常数阶-O-left-1-right" class="headerlink" title="1. 常数阶 $O\left ( 1 \right )$"></a>1. 常数阶 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.995ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2207.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><path data-c="31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(889,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></h6><p>操作数大小与其无关，始终是一个固定的常数。复杂度最小，代码此时最优。</p><p><em>*哈希表的增删查均为O(1)</em>*</p><h6 id="2-线性阶-O-left-n-right"><a href="#2-线性阶-O-left-n-right" class="headerlink" title="2. 线性阶 $O\left ( n \right )$"></a>2. 线性阶 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.221ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2307.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(989,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></h6><p>常见于循环遍历的情况，没有嵌套。复杂度为 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.221ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2307.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(989,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container>。</p><p>与操作数大小有关，操作数越大耗时越多。复杂度比常数阶高。</p><p><em>*根据实际输入或数组/链表的规模决定</em>*</p><h6 id="3-平方阶-O-left-n-2-right"><a href="#3-平方阶-O-left-n-2-right" class="headerlink" title="3. 平方阶 $O\left ( n^{2} \right ) $"></a>3. 平方阶 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.791ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.521ex" height="2.713ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -849.5 2882.2 1199"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><path data-c="28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(458,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(633,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 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463Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 。实际上复杂度是 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.433ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2843.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 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27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container>。比线性阶耗时更多，更复杂。</p><p><em>*根据实际输入或数组/链表的规模决定</em>*</p><h6 id="4-指数阶-O-left-2-n-right"><a href="#4-指数阶-O-left-2-n-right" class="headerlink" title="4. 指数阶 $O\left ( 2^{n} \right ) $"></a>4. 指数阶 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.142ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2714.9 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 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scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1396.3,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></h6><p>指数爆炸！类似于细胞分裂。<strong>所以操作总数为: (递归树的总节点数)</strong></p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="32.499ex" height="2.565ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 14364.6 1133.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 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focusable="false" viewBox="0 -750 2714.9 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mn"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 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class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.412ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4602 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 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63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></h6><p>常见于解决”数字全排列”问题。因为嵌套计算用乘法。所以操作总数为:</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="47.237ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 20878.9 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 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87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(989,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g><rect width="2448.7" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p><p> 的复杂度必须存在，且极限存在必定有界。有界是两个界，有渐进上界，肯定有渐进下界。</p><p>上界指某个值时函数图像上所有点都小于这个值，相当于下限，也就是最坏情况下的操作数。称作最差时间复杂度，记为 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.726ex" height="1.643ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -704 763 726"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>。</p><p>相反下界指在某个值时函数图像上所有点都大于这个值，相当于上限，也就是最佳情况下的操作数。称作最佳时间复杂度，记为 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.593ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -704 722 704"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="3A9" d="M55 454Q55 503 75 546T127 617T197 665T272 695T337 704H352Q396 704 404 703Q527 687 596 615T666 454Q666 392 635 330T559 200T499 83V80H543Q589 81 600 83T617 93Q622 102 629 135T636 172L637 177H677V175L660 89Q645 3 644 2V0H552H488Q461 0 456 3T451 20Q451 89 499 235T548 455Q548 512 530 555T483 622T424 656T361 668Q332 668 303 658T243 626T193 560T174 456Q174 380 222 233T270 20Q270 7 263 0H77V2Q76 3 61 89L44 175V177H84L85 172Q85 171 88 155T96 119T104 93Q109 86 120 84T178 80H222V83Q206 132 162 199T87 329T55 454Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>。</p><h4 id="空间复杂度"><a href="#空间复杂度" class="headerlink" title="空间复杂度"></a>空间复杂度</h4><h5 id="代码空间和推算方法"><a href="#代码空间和推算方法" class="headerlink" title="代码空间和推算方法"></a>代码空间和推算方法</h5><p>时间复杂度看输入，空间复杂度只看开辟了多少空间。用了多少空间，返回了多少空间。由暂存数据、栈帧空间和输出数据组成。图片如下:</p><p><figure class="image-caption"><img lazyload="" src="/images/loading.svg" data-src="https://www.hello-algo.com/chapter_computational_complexity/space_complexity.assets/space_types.png" alt="算法空间"><figcaption>算法空间</figcaption></figure></p><p>原地算法指在原来的基础上操作，不使用辅助空间。即常数阶 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.995ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2207.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><path data-c="31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(889,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><div class="highlight-container" data-rel="C++"><figure class="iseeu highlight c++"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="type">int</span> <span class="title">func</span><span class="params">()</span> </span>{</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line">}</span><br><span class="line"><span class="comment">/* 循环的空间复杂度为 O(1) */</span></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="type">void</span> <span class="title">loop</span><span class="params">(<span class="type">int</span> n)</span> </span>{</span><br><span class="line"> <span class="keyword">for</span> (<span class="type">int</span> i = <span class="number">0</span>; i < n; i++) {</span><br><span class="line"> <span class="built_in">func</span>();</span><br><span class="line"> }</span><br><span class="line">}</span><br><span class="line"><span class="comment">/* 递归的空间复杂度为 O(n) */</span></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="type">void</span> <span class="title">recur</span><span class="params">(<span class="type">int</span> n)</span> </span>{</span><br><span class="line"> <span class="comment">//直到n=1之前都不返回return</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span> (n == <span class="number">1</span>) <span class="keyword">return</span>;</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> <span class="built_in">recur</span>(n - <span class="number">1</span>);</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p>递归函数需要统计栈帧空间,我的理解就是判断每一层是否已经返回值。一次循环如果已经返回值了，释放空间。就和流水线后装满产品的箱子会被运走一样。</p><h5 id="常见复杂度类型-1"><a href="#常见复杂度类型-1" class="headerlink" title="常见复杂度类型"></a>常见复杂度类型</h5><p>从低到高，空间复杂度类型为<strong>常数阶 < 对数阶 < 线性阶 < 平方阶 < 指数阶</strong></p><h6 id="1-常数阶-O-left-1-right-1"><a href="#1-常数阶-O-left-1-right-1" class="headerlink" title="1. 常数阶 $O\left ( 1 \right )$"></a>1. 常数阶 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.995ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2207.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><path data-c="31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(889,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></h6><p>一次循环如果已经返回值了，会释放空间。不会积累。空间最优。</p><p><em>*常见于和n无关的东西，有返回值的调用等。与循环几次无关。</em>*</p><h6 id="2-线性阶-O-left-n-right-1"><a href="#2-线性阶-O-left-n-right-1" class="headerlink" title="2. 线性阶 $O\left ( n \right )$"></a>2. 线性阶 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.221ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2307.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(989,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></h6><p>一次循环后若当前未返回值，一次需要算一次。数组,列表,栈,队列,哈希表等，开多少就占多少。所以创建这类对象就是线性阶 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.221ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2307.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(989,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p><em>*常见于和n有关的东西</em>*</p><h6 id="3-平方阶-O-left-n-2-right-1"><a href="#3-平方阶-O-left-n-2-right-1" class="headerlink" title="3. 平方阶 $O\left ( n^{2} \right ) $"></a>3. 平方阶 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.791ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.521ex" height="2.713ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -849.5 2882.2 1199"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><path data-c="28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(458,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(633,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1494.6,0) translate(0 -0.5)"><path data-c="29" d="M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 -347T35 -338Q37 -333 60 -307T108 -239T160 -136T204 27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></h6><p>常见于递归嵌套的复杂度。在嵌套时，省略系数c，即复杂度为 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.791ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.521ex" height="2.713ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -849.5 2882.2 1199"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><path data-c="28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(458,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(633,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1494.6,0) translate(0 -0.5)"><path data-c="29" d="M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 -347T35 -338Q37 -333 60 -307T108 -239T160 -136T204 27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p><em>*常见于和n有关的东西，并且以嵌套形式存在</em>*</p><h6 id="4-指数阶-O-left-2-n-right-1"><a href="#4-指数阶-O-left-2-n-right-1" class="headerlink" title="4. 指数阶 $O\left ( 2^{n} \right ) $"></a>4. 指数阶 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.142ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2714.9 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mn"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1396.3,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></h6><p>用斐波那契的例子来看，并按前文的等比数列求和公式，求出这棵二叉树应该一共要开 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.142ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2714.9 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mn"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1396.3,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 个位置。带入情景即指数阶复杂度。</p><p><em>*常见于二叉树，使用二叉树来帮助理解</em>*</p><h6 id="5-对数阶-O-left-log-n-right-1"><a href="#5-对数阶-O-left-log-n-right-1" class="headerlink" title="5. 对数阶 $O\left ( \log_{}{n}\right )$"></a>5. 对数阶 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.677ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3835.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path data-c="6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 30Z" transform="translate(278,0)"></path><path data-c="67" d="M329 409Q373 453 429 453Q459 453 472 434T485 396Q485 382 476 371T449 360Q416 360 412 390Q410 404 415 411Q415 412 416 414V415Q388 412 363 393Q355 388 355 386Q355 385 359 381T368 369T379 351T388 325T392 292Q392 230 343 187T222 143Q172 143 123 171Q112 153 112 133Q112 98 138 81Q147 75 155 75T227 73Q311 72 335 67Q396 58 431 26Q470 -13 470 -72Q470 -139 392 -175Q332 -206 250 -206Q167 -206 107 -175Q29 -140 29 -75Q29 -39 50 -15T92 18L103 24Q67 55 67 108Q67 155 96 193Q52 237 52 292Q52 355 102 398T223 442Q274 442 318 416L329 409ZM299 343Q294 371 273 387T221 404Q192 404 171 388T145 343Q142 326 142 292Q142 248 149 227T179 192Q196 182 222 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287Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></strong>(看能除多少个2)层的递归树，深度多少就使用了多少空间。忽略底数即复杂度为 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.677ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3835.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(929.7,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 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d=""></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1916.7,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2516.7,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 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<summary type="html">数据结构笔记第三篇。算法效率的度量。知识点按照《Hello!算法》书籍进行。我先写粗略的笔记，到时候遇到什么问题，我会写补充笔记。纸质笔记优先...</summary>
<category term="数据结构与算法" scheme="http://smallbat.cn/categories/computer-science/"/>
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<title>蝠猫学算法#1——迭代与递归</title>
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<published>2024-06-27T03:51:00.000Z</published>
<updated>2024-09-27T10:56:19.262Z</updated>
<content type="html"><![CDATA[ <div class="note-large orange"> <div class="notel-title rounded-t-lg p-3 font-bold text-lg flex flex-row gap-2 items-center"> <p>文章寄语</p> </div> <div class="notel-content"> <p><strong>且视他人之疑目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路。</strong><br> <em>—— 史铁生<<病隙碎笔>></em></p> </div> </div><hr><h3 id="引言"><a href="#引言" class="headerlink" title="引言"></a>引言</h3><p>这里是新开的坑！以后会把关于数据结构与算法的知识笔记写在这里</p><p><strong>数据结构笔记第一篇。迭代和递归[考纲无此内容]</strong></p><p>知识点大致按照《Hello!算法》书籍进行。因为数据结构与算法在非常多的考试中都有。</p><p>本人基础较弱，可能会有许多错误，恳请批评指正。</p><p><strong>下面是几个上述提到的链接：</strong></p><a class="button regular" href='https://www.hello-algo.com' title='《Hello!算法》网页版'><i class='fa-brands fa-codepen'></i> 《Hello!算法》网页版</a><a class="button regular" href='https://ncre.neea.edu.cn/html1/folder/1507/770-1.htm' title='全国计二级官网'><i class='fa-brands fa-codepen'></i> 全国计二级官网</a><a class="button regular" href='https://www.luogu.com.cn/training/list' title='洛谷官网-刷题可用'><i class='fa-brands fa-codepen'></i> 洛谷官网-刷题可用</a><p><strong>星空如此璀璨，梦摘星星几颗。出发吧</strong></p><hr><h3 id="第一节-迭代和递归"><a href="#第一节-迭代和递归" class="headerlink" title="第一节 迭代和递归"></a>第一节 迭代和递归</h3><h4 id="迭代"><a href="#迭代" class="headerlink" title="迭代"></a>迭代</h4><h5 id="迭代-for结构"><a href="#迭代-for结构" class="headerlink" title="迭代(for结构)"></a>迭代(for结构)</h5><p>迭代在汉语词典中的意思是”更相代替；轮换”。生活中也能听到类似”电子产品迭代更新”的话语.</p><p>在计算机里也是如此，它重复执行某个任务，直到不满足条件。</p><p>可以想象一下把书放上书架，书还没放完就继续放，放完了就停止。</p><p>如果知道有几本书需要放，可以使用for结构。放上一本书后，需要看看还有没有书。所以判断了n(书籍数量)次。</p><div class="highlight-container" data-rel="C++"><figure class="iseeu highlight c++"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">//原来书堆里有几本书？假设是5本</span></span><br><span class="line"><span class="type">int</span> bookheap = <span class="number">5</span>；</span><br><span class="line"><span class="keyword">for</span>(<span class="type">int</span> i = <span class="number">0</span>; i < <span class="number">5</span>; ++i)</span><br><span class="line">{</span><br><span class="line"> <span class="comment">//放好一本书，书堆的书就少一本。</span></span><br><span class="line"> bookheap--;</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p>放好了，书堆里没有书了,程序结束.</p><h5 id="迭代-while结构"><a href="#迭代-while结构" class="headerlink" title="迭代(while结构)"></a>迭代(while结构)</h5><p>还是那一包书，但现在不知道这一包书到底有几本.也就是不知道有几本书需要放，可以用while结构。</p><p>这种办法是放完就停。每次放上一本书，也需要看看还有没有书。所以同样也是判断了n(书籍数量)次。</p><div class="highlight-container" data-rel="C++"><figure class="iseeu highlight c++"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">//原来书堆里有几本书？</span></span><br><span class="line"><span class="type">int</span> bookheap = n；</span><br><span class="line"><span class="keyword">while</span>(bookheap > <span class="number">0</span>)</span><br><span class="line">{</span><br><span class="line"> <span class="comment">//放好一本书时，书堆的书就少一本。</span></span><br><span class="line"> bookheap--;</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p>放好了，书堆里没有书了,程序结束。</p><p><strong>两个循环的区别:</strong></p><ul><li>for偏向紧凑，while偏向灵活.while可以拿捏变量,先加再乘这种for不好操作的.</li><li>知道操作数的情况下，for的代码比while简洁.</li></ul><h5 id="迭代-嵌套"><a href="#迭代-嵌套" class="headerlink" title="迭代(嵌套)"></a>迭代(嵌套)</h5><p>纯套娃，一般套娃都是用变量i和j搞定。</p><p>把它看成表格就好了。数格子的话，总是长(格子数)*宽(格子数)？所以需要判断[i*j]次。</p><p>如果它还能甚至把26个字母都用完了，那也没关系，把它26个字母全部乘起来就好了。</p><h4 id="递归"><a href="#递归" class="headerlink" title="递归"></a>递归</h4><h5 id="递归的意义"><a href="#递归的意义" class="headerlink" title="递归的意义"></a>递归的意义</h5><p>递归就是调用自己本身,递归类似套娃也有深度，且深度过大会导致栈溢出问题。</p><p>它主要由两部分组成：递归的递，把东西传递到最深处。递归的归，把东西从最深处加工后送出来。</p><p>就和工厂里某个产品的制作工序一样。放入原料，送入机器最里层，逐层加工。</p><p>但是必须要有结束条件，如果没有结束条件，他会一直运行下去。</p><div class="highlight-container" data-rel="C++"><figure class="iseeu highlight c++"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="type">int</span> <span class="title">recur</span><span class="params">(<span class="type">int</span> n)</span> </span>{</span><br><span class="line"> <span class="comment">// 这个是终止条件</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span> (n == <span class="number">1</span>)</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line"> <span class="comment">// 送原料</span></span><br><span class="line"> <span class="type">int</span> res = <span class="built_in">recur</span>(n - <span class="number">1</span>);</span><br><span class="line"> <span class="comment">// 吐产物</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> n + res;</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p><figure class="image-caption"><img lazyload src="/images/loading.svg" data-src="https://www.freeimg.cn/i/2024/06/27/667d58335bf11.png" alt="步进过程图" ><figcaption>步进过程图</figcaption></figure></p><h5 id="调用栈操作"><a href="#调用栈操作" class="headerlink" title="调用栈操作"></a>调用栈操作</h5><p>函数在没有返回最终结果之前，每一层都会占用内存。这个占用叫<strong>栈帧空间</strong>，函数最终返回后释放。</p><p>因为栈分到的内存是有限的，如果它把自己都内存占满了还没有返回结果，就栈溢出了。</p><h5 id="尾递归使用"><a href="#尾递归使用" class="headerlink" title="尾递归使用"></a>尾递归使用</h5><p>如果函数在返回前的最后一句才调用，就可以被编译器优化。从而节省了开销。而普通递归会捞一点，因为要先操作，在返回过程中还要操作。</p><h5 id="递归树使用"><a href="#递归树使用" class="headerlink" title="递归树使用"></a>递归树使用</h5><p>其实递归的本质就是把大东西切分成小东西。和把问题简单化的分治一致。</p><p>就和斐波那契数列一样，因为第n项是由前两项的和而来的，所以是两条分支。</p><p>而这两条分支的子节点又是由前两项的和而来的，所以又可以分成两条支线，最后变成一棵庞大的树。</p><p><figure class="image-caption"><img lazyload src="/images/loading.svg" data-src="https://www.hello-algo.com/chapter_computational_complexity/iteration_and_recursion.assets/recursion_tree.png" alt="斐波那契数列的递归树" ><figcaption>斐波那契数列的递归树</figcaption></figure></p><h4 id="迭代-递归对比"><a href="#迭代-递归对比" class="headerlink" title="迭代/递归对比"></a>迭代/递归对比</h4><p><strong>迭代和递归区别:</strong></p><ul><li>迭代没有调用的开销；而递归每次调用都有时间开销。</li><li>迭代有固定调用次数；递归不确定且可能非常大.</li></ul><p>书籍上还提到了递归和栈之间的联系。说什么先入后出和栈帧这种。</p><p>我的理解是就像一个车床要加工木棍，你得先把原材料(一根木头)放进去。</p><p>放进去的过程中木棒会占用车床的内部空间，也就是逐渐开辟内存的过程。占用的这部分空间就叫栈帧空间。</p><p>为了保持效率，生产过程必定是一边放入一边加工的，慢慢将原料完全放入也就是”递”的过程。</p><p>加工完毕将产物吐出。这时车床的内部空间会慢慢恢复。释放被占用的空间。同时这也是”归”的过程。</p><p>因为车床底部是封死的。原料是头部的先入，但产物出来却在尾部。所以这种工作机制也就是“先入后出”。</p><p><figure class="image-caption"><img lazyload src="/images/loading.svg" data-src="https://img.picui.cn/free/2024/06/29/667f82c2c551b.jpg" alt="递归和栈之间的联系" ><figcaption>递归和栈之间的联系</figcaption></figure></p><hr><h3 id="结语"><a href="#结语" class="headerlink" title="结语"></a>结语</h3> <div class="note-large green"> <div class="notel-title rounded-t-lg p-3 font-bold text-lg flex flex-row gap-2 items-center"> <p>文章结语</p> </div> <div class="notel-content"> <p><strong>让我成为你的双眼，把那世界万千，描绘在你面前。</strong><br> <em>——狐妖小红娘</em></p> </div> </div><hr><p><strong>笔记完毕 编辑完毕时间CST 6.28 02:51</strong></p><p>最后修改于9.27 19:00</p>]]></content>
<summary type="html">这里是新开的坑！以后会把关于数据结构与算法的知识笔记写在这里。知识点大致按照《Hello!算法》书籍进行。因为数据结构与算法在非常多的考试中都...</summary>
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<title>刷题笔记#4——数列排列数论</title>
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<published>2024-06-14T12:05:00.000Z</published>
<updated>2024-09-22T06:04:51.740Z</updated>
<content type="html"><![CDATA[ <div class="note-large orange"> <div class="notel-title rounded-t-lg p-3 font-bold text-lg flex flex-row gap-2 items-center"> <p>文章寄语</p> </div> <div class="notel-content"> <p><strong>在末日中，人们总想寻找希望，但要真有希望的话，那还叫末日吗？</strong><br> <em>——《灵笼》</em></p> </div> </div><hr><h3 id="引言"><a href="#引言" class="headerlink" title="引言"></a>引言</h3><p><strong>现在起每日一题更名为刷题笔记</strong> </p><p>好久没写笔记了，加上最近比较空遂用hexo的主题搭了一个开源博客，以后有什么都会写在这里。</p><hr><h3 id="题目描述"><a href="#题目描述" class="headerlink" title="题目描述"></a>题目描述</h3><p>今天要记录的题目是 <a href="https://leetcode.cn/problems/can-make-arithmetic-progression-from-sequence/description/"><em>1502. 判断能否形成等差数列</em></a></p><blockquote><p>给你一个数字数组arr 。<br>如果一个数列中，任意相邻两项的差总等于同一个常数，那么这个数列就称为等差数列<br>如果可以重新排列数组形成等差数列，请返回 true否则，返回 false</p><div class="highlight-container" data-rel="Plaintext"><figure class="iseeu highlight plaintext"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">输入: arr = [3,5,1]</span><br><span class="line">输出: true</span><br><span class="line">解释：对数组重新排序得到[1,3,5]或者[5,3,1]，任意相邻两项的差分别为2或-2，可以形成等差数列。</span><br></pre></td></tr></table></figure></div></blockquote><p>虽然这道题是简单题，但是有两种方法值得我们去思考。</p><p>第一种是先排序后判断，也就是常规的思路。第二种是用数论的方法，可以直接判断，可以先判断在排序。</p><hr><h3 id="方法和思路"><a href="#方法和思路" class="headerlink" title="方法和思路"></a>方法和思路</h3><h4 id="方法一：先排序后判断-模拟"><a href="#方法一：先排序后判断-模拟" class="headerlink" title="方法一：先排序后判断(模拟)"></a>方法一：先排序后判断(模拟)</h4><p>因为等差数列，我们把它排好序后，是否等差我们一眼可知。</p><h5 id="思路"><a href="#思路" class="headerlink" title="思路"></a>思路</h5><p>我们可以直接使用c++的内置函数sort()进行排序，因为等差数列的条件是相邻两项的差总等于同一个常数。所以为我们在排序完成后，还需要遍历一遍数据。</p><div class="highlight-container" data-rel="C++"><figure class="iseeu highlight c++"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">class</span> <span class="title class_">Solution</span> {</span><br><span class="line"><span class="keyword">public</span>:</span><br><span class="line"> <span class="function"><span class="type">bool</span> <span class="title">canMakeArithmeticProgression</span><span class="params">(vector<<span class="type">int</span>>& arr)</span> </span></span><br><span class="line"><span class="function"> </span>{</span><br><span class="line"> <span class="comment">//对数组进行排序</span></span><br><span class="line"> <span class="built_in">sort</span>(arr.<span class="built_in">begin</span>(), arr.<span class="built_in">end</span>());</span><br><span class="line"> <span class="comment">//遍历数组进行判断</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">for</span> (<span class="type">int</span> i = <span class="number">1</span>; i < arr.<span class="built_in">size</span>() - <span class="number">1</span>; ++i) </span><br><span class="line"> {</span><br><span class="line"> <span class="comment">//如果中间项和左右两边的差值不是一个恒定的数，则不是等差数列，遂跳出</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span> (arr[i] * <span class="number">2</span> != arr[i - <span class="number">1</span>] + arr[i + <span class="number">1</span>]) </span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> <span class="literal">false</span>;</span><br><span class="line"> }</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> <span class="literal">true</span>;</span><br><span class="line"> }</span><br><span class="line">};</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p><strong>因为排序的时间代价为O(nlogn)，遍历序列的时间代价是 O(n)，故渐进时间复杂度为 O(nlogn+n)=O(nlogn)</strong></p><p><figure class="image-caption"><img lazyload src="/images/loading.svg" data-src="https://www.freeimg.cn/i/2024/06/14/666c3fbd4d257.png" alt="我在c++没有写这个方法,因为我c#写过了(,所以贴张c#的图" ><figcaption>我在c++没有写这个方法,因为我c#写过了(,所以贴张c#的图</figcaption></figure></p><hr><h4 id="方法二：直接判断且不需要排序-数论"><a href="#方法二：直接判断且不需要排序-数论" class="headerlink" title="方法二：直接判断且不需要排序(数论)"></a>方法二：直接判断且不需要排序(数论)</h4><p><strong>等差数列的成立条件如下：</strong></p><ul><li>①相邻两项的差值等于一个常数，也就是我们说的公差d</li><li>②公差d必须为整数(仅对本题而言，因为输入是整数，公差不会是小数)</li><li>③全部的项中不会存在重复的数据</li><li>④公差d可以为0，也就是所有项都是同一个数</li></ul><h5 id="思路-1"><a href="#思路-1" class="headerlink" title="思路"></a>思路</h5><p>我们先对这个数列进行一次遍历，在题目所给的一串待处理数字中找到最大值和最小值。</p><p>为什么要找这个最大值和最小值呢？我们假设这串数字就是等差数列，则这个最大值和最小值就是数列的末项和首项。</p><p>知道了最大值和最小值，项数我们也知道了(输入几项就是几),我们可以套公式求出公差d。</p><ul><li>公差d = (末项 - 首项)/(项数 - 1)</li></ul><p><strong>现在公差d已经被算出来了，对算出来的这个公差d进行一次判断</strong></p><ul><li>若首项 = 末项(最大值等于最小值)，说明数列每一项都一样，直接返回true，不用求出d。</li><li>若公差是小数，则不满足成立条件②，直接返回false。</li></ul><p><strong>接下来我们倒序再次遍历一遍这个数列。求出每一项减去首项然后除以公差d的商。</strong></p><p>为什么这么做？因为在一个真正的等差数列中，每一项减去首项的差，对于公差d都是成倍数关系的。</p><ul><li>等差数列通项公式：An = 首项 + (第n项 - 1) * 公差d</li></ul><p>首项已经知道了，就是数组的最小值，公差我们也算出来了，An是第n项的值，也知道了。</p><p>现在的目的就是试图求n，即这个数字在整个数列中的位次。</p><p>但是因为有成立条件③的存在，直接判断会导致这个问题。所以我们开一个哈希集合，哈希集合不可以存放重复数据，正好可以判断。开其他的也可以。</p><ul><li>若n是小数，直接返回false。因为没有第小数项，除非他在另一个次元.返回false。</li><li>若n在哈希中存在，说明数列内有重复，不满足条件③，返回false。</li></ul><p>若当前数字通过两者，都坚持下来了，说明这个数字独立，加入到集合里。查看下一个数字。</p><p><strong>如果循环结束还没有返回false，说明数列满足等差数列成立的所有条件。它确实是等差数列。返回true。</strong></p><div class="highlight-container" data-rel="C++"><figure class="iseeu highlight c++"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br><span class="line">24</span><br><span class="line">25</span><br><span class="line">26</span><br><span class="line">27</span><br><span class="line">28</span><br><span class="line">29</span><br><span class="line">30</span><br><span class="line">31</span><br><span class="line">32</span><br><span class="line">33</span><br><span class="line">34</span><br><span class="line">35</span><br><span class="line">36</span><br><span class="line">37</span><br><span class="line">38</span><br><span class="line">39</span><br><span class="line">40</span><br><span class="line">41</span><br><span class="line">42</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">class</span> <span class="title class_">Solution</span> {</span><br><span class="line"><span class="keyword">public</span>:</span><br><span class="line"> <span class="function"><span class="type">bool</span> <span class="title">canMakeArithmeticProgression</span><span class="params">(vector<<span class="type">int</span>>& arr)</span> </span>{</span><br><span class="line"> <span class="type">int</span> arrlen = arr.<span class="built_in">size</span>() - <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line"> <span class="type">int</span> min = <span class="number">1000001</span>;</span><br><span class="line"> <span class="type">int</span> max = <span class="number">-1000001</span>;</span><br><span class="line"> <span class="type">int</span> diff, result;</span><br><span class="line"> unordered_set<<span class="type">int</span>> numset;</span><br><span class="line"> <span class="comment">//有内置的函数可以直接取最大最小值，我这里没用</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">for</span> (<span class="type">int</span> i = <span class="number">0</span>; i <= arrlen; ++i)</span><br><span class="line"> {</span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span> (arr[i] < min)</span><br><span class="line"> min = arr[i];</span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span> (arr[i] > max)</span><br><span class="line"> max = arr[i];</span><br><span class="line"> }</span><br><span class="line"> <span class="comment">//公差为0时</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span> (min == max)</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> <span class="literal">true</span>;</span><br><span class="line"> <span class="comment">//公差是小数，即无法整除</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span> ((max - min) % arrlen != <span class="number">0</span>)</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> <span class="literal">false</span>;</span><br><span class="line"> <span class="comment">//求公差</span></span><br><span class="line"> diff = (max - min) / arrlen;</span><br><span class="line"> <span class="keyword">for</span> (<span class="type">int</span> i = arrlen; i >= <span class="number">0</span>; --i)</span><br><span class="line"> {</span><br><span class="line"> <span class="comment">//位次是小数</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span> ((arr[i] - min) % diff != <span class="number">0</span>)</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> <span class="literal">false</span>;</span><br><span class="line"> <span class="keyword">else</span></span><br><span class="line"> {</span><br><span class="line"> result = (arr[i] - min) / diff;</span><br><span class="line"> <span class="comment">//判断哈希表里是否已经存在数字</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span>(numset.<span class="built_in">count</span>(result) == <span class="number">1</span>)</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> <span class="literal">false</span>;</span><br><span class="line"> <span class="comment">//没有就插入这个数字</span></span><br><span class="line"> numset.<span class="built_in">insert</span>(result);</span><br><span class="line"> }</span><br><span class="line"> }</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> <span class="literal">true</span>;</span><br><span class="line"> }</span><br><span class="line">};</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p><figure class="image-caption"><img lazyload src="/images/loading.svg" data-src="https://www.freeimg.cn/i/2024/06/14/666c4d7146040.png" alt="通过代码图" ><figcaption>通过代码图</figcaption></figure></p><h5 id="拓展"><a href="#拓展" class="headerlink" title="拓展"></a>拓展</h5><p>其实这道题到这里就结束了，都知道了这几个元素在排序后数列的确切位置。</p><p>其实就可以反向排序了。</p><hr><h3 id="结语和留言"><a href="#结语和留言" class="headerlink" title="结语和留言"></a>结语和留言</h3> <div class="note-large purple"> <div class="notel-title rounded-t-lg p-3 font-bold text-lg flex flex-row gap-2 items-center"> <p>文章结语</p> </div> <div class="notel-content"> <p><strong>梦比现实更易侵蚀人的精神，刻意准备的梦是危险的。</strong><br> <em>——东方绀珠传 ~ Legacy of Lunatic Kingdom.</em></p> </div> </div><hr><p><strong>笔记完毕 编辑完毕时间CST 6.14 22:35</strong></p><p>最后修改于8.15 00:20</p>]]></content>
<summary type="html">好久没写笔记了...1502判断能否形成等差数列.如果一个数列中，任意相邻两项的差总等于同一个常数，那么这个数列就称为等差数列,如果可以重新排列数组形成等差数列...</summary>
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<title>每日一题#3——二分运算</title>
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<published>2023-10-25T15:26:00.000Z</published>
<updated>2024-09-22T06:04:51.744Z</updated>
<content type="html"><![CDATA[ <div class="note-large blue"> <div class="notel-title rounded-t-lg p-3 font-bold text-lg flex flex-row gap-2 items-center"> <p>文章寄语</p> </div> <div class="notel-content"> <p><strong>其实美丽的故事都是没有结局的，只因为它没有结局所以才会美丽。</strong><br> <em>——《萤火之森》</em></p> </div> </div><hr><h3 id="引言"><a href="#引言" class="headerlink" title="引言"></a>引言</h3><p><strong>每日一题的记录点</strong>.</p><hr><h3 id="题目描述"><a href="#题目描述" class="headerlink" title="题目描述"></a>题目描述</h3><p>今天的力扣题为 <a href="https://leetcode.cn/problems/search-insert-position/description/"><em>35.搜索插入位置</em></a>，题目如下：</p><blockquote><p>给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。<br>如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。</p><div class="highlight-container" data-rel="Plaintext"><figure class="iseeu highlight plaintext"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">输入: nums = [1,3,5,6], target = 5</span><br><span class="line">输出: 2</span><br></pre></td></tr></table></figure></div></blockquote><p>立马想出二分查找法。再看看题目范围和提示：无重复元素升序排列数组.</p><hr><h3 id="方法和思路"><a href="#方法和思路" class="headerlink" title="方法和思路"></a>方法和思路</h3><h4 id="方法一：内置函数"><a href="#方法一：内置函数" class="headerlink" title="方法一：内置函数"></a>方法一：内置函数</h4><p>在C#中，有很多可以排序的数据类型，这里仅仅只需要使用列表就足够了。而且这道题无非就是两个子问题：</p><ul><li>如果原有数组中存在该数，则返回其索引。</li><li>如果原有数组中不存在该数，则返回其应该被插入的位置。</li></ul><p>所以我们先把这个数组转换成列表，查找有无该数。如果没有，就把它放到列表里，然后排序后输出索引。</p><p>因为我们把它转换成了一个新的数据类型列表，所以占用了n位列表的空间，空间复杂度是O(n)。</p><div class="highlight-container" data-rel="Csharp"><figure class="iseeu highlight csharp"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">public</span> <span class="built_in">int</span> <span class="title">SearchInsert</span>(<span class="params"><span class="built_in">int</span>[] nums, <span class="built_in">int</span> target</span>)</span></span><br><span class="line">{</span><br><span class="line"> <span class="comment">//数组转列表</span></span><br><span class="line"> List<<span class="built_in">int</span>> sorted = nums.ToList();</span><br><span class="line"> <span class="comment">//如果存在就返回索引 indexof时返回索引的函数</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span> (sorted.Contains(target))</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> sorted.IndexOf(target);</span><br><span class="line"> <span class="keyword">else</span></span><br><span class="line"> {</span><br><span class="line"> <span class="comment">//不存在就加入 排序并输出最后的索引</span></span><br><span class="line"> sorted.Add(target);</span><br><span class="line"> <span class="comment">//因为内置排序函数用了快速排序，所以时间复杂度是nlogn</span></span><br><span class="line"> sorted.Sort();</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> sorted.IndexOf(target);</span><br><span class="line"> }</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p>通过这种方法得出的结果，耗时 <strong>(76ms)</strong> 和空间 **(38.13MB)**。</p><hr><h4 id="方法二：二分运算"><a href="#方法二：二分运算" class="headerlink" title="方法二：二分运算"></a>方法二：二分运算</h4><p>所谓二分运算，就是把东西一分为二.</p><p>一般就是先在有序数组的最开始和最末尾设定两个扫描头，然后把左边和右边加起来除以二，也就是取中点。</p><p>然后我们判断，如果这个数大于这个中点，说明在右半边，然后我们扔掉左半边不要的，循环反复。反之就扔掉右半边。</p><p>只不过有一点不一样，如果数组中不存在这个数，我们需要返回的是不大于这个数的最大的数的索引，这个就是他需要被插入的位置。而不是那个中点mid了</p><p>因为这里没有开辟新的类型和新的数组，所以只占用了常数量级空间，空间复杂度是O(1)。</p><div class="highlight-container" data-rel="Csharp"><figure class="iseeu highlight csharp"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">public</span> <span class="built_in">int</span> <span class="title">SearchInsert</span>(<span class="params"><span class="built_in">int</span>[] nums, <span class="built_in">int</span> target</span>)</span></span><br><span class="line">{</span><br><span class="line"> <span class="comment">//在开头和结尾定义扫描头</span></span><br><span class="line"> <span class="built_in">int</span> left = <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line"> <span class="built_in">int</span> right = nums.Length - <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line"> <span class="comment">//设定约束条件</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">while</span> (left <= right)</span><br><span class="line"> {</span><br><span class="line"> <span class="built_in">int</span> mid = left + (right - left) / <span class="number">2</span>;</span><br><span class="line"> <span class="comment">//如果这个数字在数组中存在就返回他的索引</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span> (target == nums[mid])</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> mid;</span><br><span class="line"> <span class="comment">//不然就按照二分模板，在左边扔掉右边，在右边扔掉左边</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">else</span> <span class="keyword">if</span> (target <= nums[mid])</span><br><span class="line"> right = mid - <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line"> <span class="keyword">else</span></span><br><span class="line"> left = mid + <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line"> }</span><br><span class="line"> <span class="comment">//如果这个数字在数组中不存在就返回他的插入位置靠左的索引</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> left;</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p>前面提到的[left+(right-left)/2]，这是一种防止溢出的手段，如果数字太大，加起来可能会爆int的范围，所以就这么写。这么写和[(left+right)/2]相同。<del>具体什么原理我也不太清楚。</del></p><p>通过这种方法得出的结果，耗时 <strong>(84ms)</strong> 和空间 **(37.59MB)**。</p><hr><h3 id="结语和留言"><a href="#结语和留言" class="headerlink" title="结语和留言"></a>结语和留言</h3><p>摸鱼摸鱼摸鱼摸鱼摸鱼。</p><hr><p><strong>笔记完毕 编辑完毕时间CST 10.25 23:26</strong></p><p>最后修改于8.15 00:05</p>]]></content>
<summary type="html">今天的力扣题为 35.搜索插入位置.给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。</summary>
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<category term="算法" scheme="http://smallbat.cn/tags/%E7%AE%97%E6%B3%95/"/>
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<title>每日一题#2——位运算数论</title>
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<published>2023-10-17T15:44:00.000Z</published>
<updated>2024-09-22T06:04:51.740Z</updated>
<content type="html"><![CDATA[ <div class="note-large blue"> <div class="notel-title rounded-t-lg p-3 font-bold text-lg flex flex-row gap-2 items-center"> <p>文章寄语</p> </div> <div class="notel-content"> <p><strong>请别在意。我是旅人，得继续旅行才行。</strong><br> <em>——伊蕾娜《魔女之旅》</em></p> </div> </div><hr><h3 id="引言"><a href="#引言" class="headerlink" title="引言"></a>引言</h3><p><strong>每日一题的记录点</strong>。鉴于今天的题目比较简单，所以内容可能较少。</p><hr><h3 id="题目描述"><a href="#题目描述" class="headerlink" title="题目描述"></a>题目描述</h3><p>今天的力扣签到题为<a href="https://leetcode.cn/problems/sum-multiples/description/"><em>2652. 倍数求和</em></a>，题目如下：</p><blockquote><p>给你一个正整数 n，请你计算在 <code>[1，n]</code>范围内能被 3、5、7整除的所有整数之和。</p><p>返回一个整数，用于表示给定范围内所有满足约束条件的数字之和。</p><div class="highlight-container" data-rel="Plaintext"><figure class="iseeu highlight plaintext"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">输入：n = 7</span><br><span class="line">输出：21</span><br><span class="line">解释：在 [1, 7] 范围内能被 3、5、7 整除的所有整数分别是 3、5、6、7 。数字之和为 21 。</span><br></pre></td></tr></table></figure></div></blockquote><p>看到这里，想出枚举法，即遍历数字后找出对应满足条件的数字。再看看范围，n在1~1000之间.</p><hr><h3 id="方法和思路"><a href="#方法和思路" class="headerlink" title="方法和思路"></a>方法和思路</h3><h4 id="方法一：枚举遍历"><a href="#方法一：枚举遍历" class="headerlink" title="方法一：枚举遍历"></a>方法一：枚举遍历</h4><div class="highlight-container" data-rel="Csharp"><figure class="iseeu highlight csharp"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">public</span> <span class="built_in">int</span> <span class="title">SumOfMultiples</span>(<span class="params"><span class="built_in">int</span> n</span>)</span></span><br><span class="line">{</span><br><span class="line"> <span class="built_in">int</span> ans = <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line"> <span class="comment">//遍历，找出所有3,5,7倍数的数字后累加</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">for</span> (<span class="built_in">int</span> i = <span class="number">1</span>; i <= n; i++)</span><br><span class="line"> {</span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span> (i % <span class="number">3</span> == <span class="number">0</span> || i % <span class="number">5</span> == <span class="number">0</span> || i % <span class="number">7</span> == <span class="number">0</span>)</span><br><span class="line"> ans += i;</span><br><span class="line"> }</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> ans;</span><br><span class="line">} </span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p>耗费时间 <strong>(16ms)</strong> 和空间 **(25.40MB)**。</p><hr><h4 id="方法二：数学思想"><a href="#方法二：数学思想" class="headerlink" title="方法二：数学思想"></a>方法二：数学思想</h4><p>看了题解研究了半天，终于知道怎么把时间复杂度降为O(1)了。这个方法很巧妙。</p><p>如果说输入的数是n=20时，可以先把答案(也就是3,5,7的倍数的数)挑出来讨论：</p><ul><li>3的倍数: 3, 6, 9, 12, 15, 18</li><li>5的倍数: 5, 10, 15, 20</li><li>7的倍数: 7, 14</li></ul><p>这些就是答案，然后会发现这是等差数列。既然是等差数列，当然就可以用等差数列的求和公式来计算他们的和。</p><ul><li><em>一个等差数列的和</em> = ( 首项 + 末项 ) * 项数 / 2</li></ul><p>现在我们有了首项(求几的倍数就是几)，那末项和项数呢?</p><p>这就可以用 [n/首项]来得出n范围内最大的元素数量了(就是项数)，然后再用这个结果乘以其首项，即为不大于n的最大倍数结果。比如[n=20]时，[20/3=6]，则6即为项数，而[6*3=18]即为末项。</p><p>现在我们可以正常使用等差公式了，首项为n，末项为[(n/首项)*首项]，项数为[n/首项]。</p><p>为了方便我们将 [n/首项]记为counts。这样就可以算了。现在公式变成了以下这个：</p><ul><li><em>一个等差数列的和</em> = ( 首项 + counts * 首项 ) * counts / 2</li></ul><p>如果传入两个数，分别是首项和n，记为a和b的话，代码应该这样：</p><div class="highlight-container" data-rel="Csharp"><figure class="iseeu highlight csharp"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">//sum函数即为我们要求的这个等差数列的和</span></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">public</span> <span class="built_in">int</span> <span class="title">Sum</span>(<span class="params"><span class="built_in">int</span> a, <span class="built_in">int</span> b</span>)</span></span><br><span class="line">{</span><br><span class="line"> <span class="built_in">int</span> counts = b / a;</span><br><span class="line"> <span class="built_in">int</span> result = (a + counts * a) * counts / <span class="number">2</span>;</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> result;</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p>现在传入3，5，7和n就可以了。</p><p><strong>注意：</strong></p><ul><li>末项求值时，不能对这个算式进行化简,因为它是取整过的数，而且他的目的仅仅是找到小于n的最大倍数。</li><li>两者本质完全不同，即使是换成高精度的浮点计算也不行。</li></ul><p>然后按照小学的知识，比如这个：</p><blockquote><p><strong>喜欢数学的有10人 喜欢英语的有5人 喜欢科学的有12人</strong></p><p><strong>同时喜欢数学和英语的有2人 英语和科学的有2人 数学和科学的有5人</strong></p><p><strong>三门学科同时喜欢的有1人</strong></p><p>现在问你只喜欢一门学科的人有多少？</p></blockquote><p>这就是<strong>容斥定理</strong>，这个题只要把一门学科的全加起来，减去两门学科重叠的人数。因为三门学科的人在做差的时候被减去了两次，所以要把他加回来。所以这个问题的答案就是[10+5+12-2-2-5+1=19人]。</p><p>所以这个程序也是一样的道理，把3，5，7的倍数加起来，减去两两倍数的乘积，然后再把三个数的乘积(105)加回去，就是最终的答案了。</p><div class="highlight-container" data-rel="Csharp"><figure class="iseeu highlight csharp"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">//sum函数即为我们要求的这个等差数列的和</span></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">public</span> <span class="built_in">int</span> <span class="title">Sum</span>(<span class="params"><span class="built_in">int</span> a, <span class="built_in">int</span> b</span>)</span></span><br><span class="line">{</span><br><span class="line"> <span class="built_in">int</span> counts = b / a;</span><br><span class="line"> <span class="built_in">int</span> result = (a + a * counts) * counts / <span class="number">2</span>;</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> result;</span><br><span class="line">}</span><br><span class="line"><span class="comment">//用容斥定理求出最终的结果</span></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">public</span> <span class="built_in">int</span> <span class="title">SumOfMultiples</span>(<span class="params"><span class="built_in">int</span> n</span>)</span></span><br><span class="line">{</span><br><span class="line"> <span class="built_in">int</span> result = Sum(<span class="number">3</span>, n) + Sum(<span class="number">5</span>, n) + Sum(<span class="number">7</span>, n) - Sum(<span class="number">15</span>, n) - Sum(<span class="number">21</span>, n) - Sum(<span class="number">35</span>, n) + Sum(<span class="number">105</span>, n);</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> result;</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p>通过这种方法得出的结果，耗时 <strong>(20ms)</strong> 和空间 **(25.37MB)**。</p><hr><h3 id="结语和留言"><a href="#结语和留言" class="headerlink" title="结语和留言"></a>结语和留言</h3><p>暂无留言</p><hr><p><strong>笔记完毕 编辑完毕时间CST 10.17 23:44</strong></p><p>最后修改于8.15 00:05</p>]]></content>
<summary type="html">今天的力扣签到题为2652. 倍数求和,给你一个正整数n，请你计算在[1，n]范围内能被3、5、7整除的所有整数之和。返回一个整数，用于表示给定范围内所有满足约束条件的数字之和。</summary>
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<category term="算法" scheme="http://smallbat.cn/tags/%E7%AE%97%E6%B3%95/"/>
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<title>每日一题#1——位运算</title>
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<published>2023-10-16T15:55:00.000Z</published>
<updated>2024-10-08T07:39:57.917Z</updated>
<content type="html"><![CDATA[ <div class="note-large pink"> <div class="notel-title rounded-t-lg p-3 font-bold text-lg flex flex-row gap-2 items-center"> <p>寄语</p> </div> <div class="notel-content"> <p><strong>时光流转，愿你终有一天能和你重要的人重逢。</strong><br> <em>——艾拉《可塑性记忆》</em></p> </div> </div><hr><h3 id="引言"><a href="#引言" class="headerlink" title="引言"></a>引言</h3><p>从今天开始会写blog，主要是记笔记以防后期忘记，同时也会记一些重要的知识点.第一篇文稿测试.</p><hr><h3 id="题目描述"><a href="#题目描述" class="headerlink" title="题目描述"></a>题目描述</h3><p>今天的力扣为<a href="https://leetcode.cn/problems/single-number-iii/description/"><em>260. 只出现一次的数字 III</em></a>，题目如下：</p><blockquote><p>给你一个整数数组nums，其中恰好有两个元素只出现一次，其余所有元素均出现两次。 找出只出现一次的那两个元素。你可以按任意顺序返回答案。</p><p>你必须设计并实现线性时间复杂度的算法且仅使用常量额外空间来解决此问题。</p><div class="highlight-container" data-rel="Plaintext"><figure class="iseeu highlight plaintext"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">输入：nums = [1,2,1,3,2,5]</span><br><span class="line">输出：[3,5]</span><br><span class="line">解释：[5, 3] 也是有效的答案。</span><br></pre></td></tr></table></figure></div></blockquote><p>看到这道题，我脑子里第一个想法就是用内置函数count()，它的功能是计算序列中的元素数量。</p><p>如果不填参数，将返回元素的个数。若填写参数，这个函数的功能就会变成计算序列中满足某个条件时的元素数量。</p><hr><h3 id="方法和思路"><a href="#方法和思路" class="headerlink" title="方法和思路"></a>方法和思路</h3><h4 id="方法一：内置函数"><a href="#方法一：内置函数" class="headerlink" title="方法一：内置函数"></a>方法一：内置函数</h4><div class="highlight-container" data-rel="Csharp"><figure class="iseeu highlight csharp"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">public</span> <span class="built_in">int</span>[] <span class="title">SingleNumber</span>(<span class="params"><span class="built_in">int</span>[] nums</span>)</span> {</span><br><span class="line"> <span class="built_in">int</span>[] answer = <span class="keyword">new</span> <span class="built_in">int</span>[<span class="number">2</span>];</span><br><span class="line"> <span class="built_in">int</span> j = <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line"> <span class="comment">//遍历数组,找到只出现一次的值</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">for</span> (<span class="built_in">int</span> i = <span class="number">0</span>; i < nums.Length; i++) {</span><br><span class="line"> <span class="built_in">int</span> count = nums.Count(n => n == nums[i]);</span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span>(count == <span class="number">1</span>) {</span><br><span class="line"> answer[j] = nums[i];</span><br><span class="line"> j++;</span><br><span class="line"> }</span><br><span class="line"> }</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> answer;</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p>消耗时间2748ms 和 空间44.10MB</p><hr><h4 id="方法二：哈希集合"><a href="#方法二：哈希集合" class="headerlink" title="方法二：哈希集合"></a>方法二：哈希集合</h4><p>基于内置函数真的太慢的情况下，我想了一个别的方法。</p><p>先创建一个哈希集合，如果在哈希集合中找到了，说明这个数字出现了两次；反之如果没找到，说明这个数字只出现了一次。</p><div class="highlight-container" data-rel="Csharp"><figure class="iseeu highlight csharp"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">public</span> <span class="built_in">int</span>[] <span class="title">SingleNumber</span>(<span class="params"><span class="built_in">int</span>[] nums</span>)</span> {</span><br><span class="line"> HashSet<<span class="built_in">int</span>> numsCounts = <span class="keyword">new</span>();</span><br><span class="line"> <span class="keyword">foreach</span> (<span class="built_in">int</span> i <span class="keyword">in</span> nums) {</span><br><span class="line"> <span class="comment">//若找到重复元素，则剔除；没找到就添加进去</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span>(numsCounts.Contains(i))</span><br><span class="line"> numsCounts.Remove(i);</span><br><span class="line"> <span class="keyword">else</span></span><br><span class="line"> numsCounts.Add(i);</span><br><span class="line"> }</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> numsCounts.ToArray();</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p><strong>以下是对代码的优化:</strong></p><div class="highlight-container" data-rel="Csharp"><figure class="iseeu highlight csharp"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">//若添加失败(说明重复)则把这个数字剔除</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span>(!numsCounts.Add(i))</span><br><span class="line"> numsCounts.Remove(i);</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p>消耗时间152ms 和 空间42.55MB</p><hr><h4 id="方法三：位运算"><a href="#方法三：位运算" class="headerlink" title="方法三：位运算"></a>方法三：位运算</h4><p>因为这个题目的标签里面有位运算，所以我一直在想怎么用，但是一整天都没想出来。</p><p>怎么办呢？那只好去翻翻题解了。现在似乎有点明白了.</p><ul><li>X⊕X=0(异或时,相同数字会抵消) </li><li>0⊕X=X(异或时,任何数和0发生关系都等于那个数)</li></ul><p>异或运算的原理如上所示，现在将所有数字异或，将得到一个不为0的数。</p><p>若输入为[1, 2, 1, 3, 2, 5]，那他们的异或结果就是3^5,是一个不知道的数.</p><p>然后将这个得出来的数的<strong>补码</strong>(一种负数二进制形式)和它自己(也就是刚刚异或的结果)进行<strong>与运算</strong>。</p><p>这样可以得到只有最低位是1的二进制码，这个位就是两个只出现一次的数字在二进制表示上的差异。</p><p>以下为步骤表格：看表格，3和5从右往左第一个差异是不是第二位不一样？所以异或结果的补码只有第二位为1。</p><blockquote><table><thead><tr><th>步骤/数字</th><th>3</th><th>5</th><th>3^5</th></tr></thead><tbody><tr><td>二进制码</td><td>011</td><td>101</td><td>110</td></tr><tr><td>反码</td><td>100</td><td>010</td><td>001</td></tr><tr><td>补码</td><td>101</td><td>011</td><td>010</td></tr></tbody></table></blockquote><p>现在就可以对原数组的每一个数进行与运算后分类，有0的分为一组，有1的分为一组。</p><p>以下是分类结果：针对输入为 <code>[1, 2, 1, 3, 2, 5]</code>的为例</p><ul><li>1：2, 2, 3</li><li>0：1, 1, 5</li></ul><p>经过”分治”的过程，问题转化成了简单的 **”在偶数次数字里找到只出现一次的元素”**。</p><p>现在只要遵循异或的运算规则，将一个类总的所有元素全部异或，偶数次的元素会被相互抵消，然后就会剩下只出现一次的元素了。</p><div class="highlight-container" data-rel="Csharp"><figure class="iseeu highlight csharp"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">public</span> <span class="built_in">int</span>[] <span class="title">SingleNumber</span>(<span class="params"><span class="built_in">int</span>[] nums</span>)</span> {</span><br><span class="line"> <span class="comment">//定义</span></span><br><span class="line"> <span class="built_in">int</span> numsxor = <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line"> <span class="built_in">int</span>[] res = <span class="keyword">new</span> <span class="built_in">int</span>[<span class="number">2</span>];</span><br><span class="line"> <span class="comment">//所有元素异或</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">foreach</span> (<span class="built_in">int</span> num <span class="keyword">in</span> nums)</span><br><span class="line"> numsxor ^= num;</span><br><span class="line"> <span class="comment">//异或结果和补码与运算，得到最低位为1的二进制码</span></span><br><span class="line"> <span class="comment">//就是取最右边的那个1，这个1保留，其他全改成0</span></span><br><span class="line"> <span class="built_in">int</span> answer = numsxor & (-numsxor);</span><br><span class="line"> <span class="comment">//用这个码对数组分类</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">foreach</span> (<span class="built_in">int</span> num <span class="keyword">in</span> nums)</span><br><span class="line"> {</span><br><span class="line"> <span class="comment">//全部异或抵消得到结果</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span> ((answer & num) == <span class="number">0</span>)</span><br><span class="line"> res[<span class="number">0</span>] ^= num;</span><br><span class="line"> <span class="keyword">else</span></span><br><span class="line"> res[<span class="number">1</span>] ^= num;</span><br><span class="line"> }</span><br><span class="line"> <span class="keyword">return</span> res;</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure></div><p>通过这种方法得出的结果，耗时 <strong>(132ms)</strong> 和空间 **(42.39MB)**。</p><hr><h3 id="结语和留言"><a href="#结语和留言" class="headerlink" title="结语和留言"></a>结语和留言</h3><p>今天是第一天，希望自己能坚持下去。</p><hr><p><strong>笔记完毕 编辑完毕时间CST 10.16 23:55</strong></p><p>最后修改于8.15 00:05</p>]]></content>
<summary type="html">今天的力扣签到题为 260. 只出现一次的数字III
给你一个整数数组nums，其中恰好有两个元素只出现一次，其余所有元素均出现两次。找出只出现一次的那两个元素。你可以按任意顺序返回答案</summary>
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