docs: add Quantum Ch.6 Classic Logic, Gates, and Circuits

Author: Xecades

docs/config.yml

@@ -6,6 +6,7 @@ nav:
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docs/cs/quantum/assets/classic-logic-gates-and-circuits.cnot-circuit.svg

@@ -0,0 +1,104 @@
+---
+title: Ch.6 Classic Logic, Gates, and Circuits
+---
+
+本章介绍了经典逻辑电路，并引入了**可逆逻辑门**的概念，然后在此基础上介绍了一种以**桌球碰撞**来实现逻辑运算的理想模型. 本文只介绍可逆逻辑门的部分：CNOT 门、Toffoli 门、Fredkin 门.
+
+---
+
+## 受控非门 CNOT
+
+**受控非门**（Controlled-NOT gate）接收两个输入比特，传出两个输出比特. 它的作用是：**当第一个比特是 1 时，将第二个比特取反；当第一个比特是 0 时，第二个比特保持不变**. 用函数的形式表达，可以写为
+
+$$
+f(x, y) = (x, x \oplus y).
+$$
+
+CNOT 门是**可逆的**，给定一组输出，可以唯一确定输入. 我们后面介绍的所有门都满足这个条件.
+
+同时我们注意到，两个 CNOT 门的作用可以**相互抵消**，即 $(x, y) \mapsto (x, x \oplus y) \mapsto (x, x \oplus (x \oplus y)) = (x, y)$.
+
+我们可以通过一个**扇出**（Fan-out，在本书中指的是将一个比特复制到多个比特，即下图的小黑点）和一个**异或门**来实现 CNOT 电路.
+
+![](./assets/classic-logic-gates-and-circuits.cnot-circuit.svg){.inv width=400px}
+
+在量子电路中，我们用如下记号表示.
+
+```typst
+#import "@preview/quill:0.6.0": *
+#scale(180%, reflow: true, quantum-circuit(
+    lstick($x$), 1, ctrl(1), 1, rstick($x$), [\ ],
+    lstick($y$), 1, targ(), 1, rstick($x xor y$)
+))
+```
+
+---
+
+## Toffoli 门
+
+**Toffoli 门**有三个输入和三个输出，**当前两个输入都是 1 时，将第三个输入取反**，因此又称为**CCNOT 门**（Controlled-Controlled-NOT gate）. 它可以用函数表示为
+
+$$
+T(x, y, z) = (x, y, (x \land y) \oplus z).
+$$
+
+和 CNOT 门一样，Toffoli 门也是可逆的，并且两个 Toffoli 门的作用可以相互抵消.
+
+它用如下的记号表示.
+
+```typst
+#import "@preview/quill:0.6.0": *
+#scale(180%, reflow: true, quantum-circuit(
+    lstick($x$), 1, ctrl(1), 1, rstick($x$), [\ ],
+    lstick($y$), 1, ctrl(1), 1, rstick($y$), [\ ],
+    lstick($z$), 1, targ(), 1, rstick($(x and y) xor z$)
+))
+```
+
+Toffoli 门是**通用门**，因为它可以实现 **NAND 门**和**扇出**.
+
+$$
+\begin{align*}
+\text{NAND:}\quad & T(x, y, 1) = (x, y, (x \land y) \oplus 1) = (x, y, x \uparrow y), \\[0.7em]
+\text{扇出:}\quad & T(x, 1, 0) = (x, 1, (x \land 1) \oplus 0) = (x, 1, x).
+\end{align*}
+$$
+
+---
+
+## Fredkin 门
+
+**Fredkin 门**有三个输入和三个输出，**当前第一个输入是 1 时，交换第二个和第三个输入**，对应函数
+
+$$
+F(x, y, z) = (x, (\neg x \land y) \lor (x \land z), (\neg x \land z) \lor (x \land y)).
+$$
+
+或者更直观地写成
+
+$$
+\begin{align*}
+F(0, y, z) &= (0, y, z), \\[0.7em]
+F(1, y, z) &= (1, z, y).
+\end{align*}
+$$
+
+Fredkin 门也是自身的逆. 可用如下记号表示.
+
+```typst
+#import "@preview/quill:0.6.0": *
+#scale(180%, reflow: true, quantum-circuit(
+    lstick($x$), 1, ctrl(1), 1, rstick($x$), [\ ],
+    lstick($y$), 1, swap(1), 1, rstick($(not x and y) or (x and z)$), [\ ],
+    lstick($z$), 1, swap(0), 1, rstick($(not x and z) or (x and y)$)
+))
+```
+
+Fredkin 门也是**通用门**，因为可以实现**与门**、**非门**和**扇出**.
+
+$$
+\begin{align*}
+\text{与门:}\quad & F(x, y, 0) = (x, \neg x\land y, x\land y), \\[0.7em]
+\text{非门、扇出:}\quad & F(x, 0, 1) = (x, x, \neg x).
+\end{align*}
+$$