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| 1 | +\documentclass{ctexbook} |
| 2 | +\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, geometry} |
| 3 | +\usepackage{enumitem} % 用于自定义列表格式 |
| 4 | + |
| 5 | +\geometry{left=2.5cm,right=2.5cm,top=3cm,bottom=3cm} |
| 6 | + |
| 7 | +\begin{document} |
| 8 | + |
| 9 | +\centering |
| 10 | +\subsection*{2024 - 2025学年数学分析I (H)期末试题答案} |
| 11 | +\centering |
| 12 | +\textbf{jayi0908} |
| 13 | + |
| 14 | +\begin{enumerate} |
| 15 | + \item[一、]计算题 |
| 16 | + \begin{enumerate} |
| 17 | + \item[(1)] 由定积分定义，令\(f(x)=\ln(1+x)\)，则\\ |
| 18 | + 原式 \(=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}f(\dfrac{k}{n})=\int_{0}^{1}f(x) \mathrm{d}x=2\ln 2-1\). |
| 19 | + \item[(2)] 由洛必达法则，令\(u=\sqrt{t}\)，则\\ |
| 20 | + 原式 \(=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\int_{0}^{x}2u\sin^2u \mathrm{d}u}{x^{4}}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{2x\sin^2x}{4x^3}=\dfrac{1}{2}\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin^2x}{x^2}=\dfrac{1}{2}\). |
| 21 | + \item[(3)] \(f'(x)=\left(1+x\right)\arctan x\)，则 |
| 22 | + \begin{enumerate} |
| 23 | + \item[] \(x\leq -1\)时，\(f'(x)>0\) |
| 24 | + \item[] \(-1<x<0\)时，\(f'(x)<0\) |
| 25 | + \item[] \(x\geq 0\)时，\(f'(x)>0\) |
| 26 | + \end{enumerate} |
| 27 | + 故\(f(x)\)的极大值为\(f(0)=0\)，\\ |
| 28 | + 由分部积分，极小值为 |
| 29 | + \begin{align*} |
| 30 | + f(-1)&=\int_{0}^{-1}(1+x)\arctan x \mathrm{d}x\\ |
| 31 | + & =\dfrac{1}{2}(1+x)^2\arctan x\vert_{0}^{1}-\int_{0}^{-1}\dfrac{(1+x)^2}{2(1+x^2)} \mathrm{d}x\\ |
| 32 | + & =\dfrac{\pi}{2}-\int_{0}^{-1}\dfrac{1}{2} \mathrm{d}x -\int_{0}^{-1}\dfrac{x \mathrm{d}x}{1+x^2}\\ |
| 33 | + & =\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\vert_{0}^{-1}\\ |
| 34 | + & =\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\ln 2. |
| 35 | + \end{align*} |
| 36 | + \item[(4)] 代入 \(x=0\) 到第一个方程得 \(\sin t+2t=0\)，\\ |
| 37 | + 由函数 \(y=\sin x+2x\) 单增知 \(t=0\) 为唯一解，代入第二个方程得 \(y=\dfrac{\pi}{2}\).\\ |
| 38 | + 由第二个式子解得\(t=\dfrac{y-\frac{\pi}{2}}{\sin y}\)，代回第一个式子得\(e^x=\sin\dfrac{y-\frac{\pi}{2}}{\sin y}+2\dfrac{y-\frac{\pi}{2}}{\sin y}+1\).\\ |
| 39 | + 两边对\(x\)求导得\(e^x=\dfrac{\cos\dfrac{y-\frac{\pi}{2}}{\sin y}\left(y'\sin y-\left(y-\dfrac{\pi}{2}\right)\cos y\right)}{\sin^2 y}+2\dfrac{y'\sin y-\left(y-\dfrac{\pi}{2}\right)\cos y}{\sin^2 y}\).\\ |
| 40 | + 代入 \(x=0,y=\dfrac{\pi}{2}\) 得 \(1=3y'\vert_{x=0}\)，故\(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\vert_{x = 0}=\dfrac{1}{3}\). |
| 41 | + \item[(5)] |
| 42 | + \begin{align*} |
| 43 | + \int_{0}^{+\infty}\dfrac{xe^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}dx&=-\int_{0}^{+\infty}x \mathrm{d}\dfrac{1}{1+e^x}\\ |
| 44 | + &=\dfrac{-x}{1+e^x}\vert_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{1+e^x} \mathrm{d}x\\ |
| 45 | + &=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{e^x(1+e^x)} \mathrm{d}e^x\\ |
| 46 | + &=\int_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{t(t+1)} \mathrm{d}t\\ |
| 47 | + &=\ln\dfrac{t}{t+1}\vert_{1}^{+\infty}\\ |
| 48 | + &=\ln 2. |
| 49 | + \end{align*} |
| 50 | + \end{enumerate} |
| 51 | + |
| 52 | + \item[二、] |
| 53 | + 确界原理：非空有上界的实数集必有上确界，非空有下界的实数集必有下确界.\\ |
| 54 | + 证明：对 \(\forall x_0\in(0,1)\)，由于 \(f\) 在 \((0,1)\) 上单增，故 \(x_0\) 左侧的函数值均小于 \(f(x_0)\)，\\ |
| 55 | + 令\(E=\{f(x)\vert x\in(0,1),x<x_0\}\)，则 \(E\) 非空有上界，故 \(\exists a=\sup E\)，\\ |
| 56 | + 由确界定义，\(\forall\varepsilon_1>0,\exists x_1\in(0,1),x_1<x_0\)，使得 \(a-\varepsilon_1<f(x_1)\leq a\).\\ |
| 57 | + 则 \(\forall\varepsilon_2\in (0,a-f(x_1)),\exists x_2\in(x_1,x_0),\)，使得 \(f(x_1)<a-\varepsilon_2<f(x_2)<a\).\\ |
| 58 | + 同理可一直构造出 \(x_1<x_2<\cdots<x_n<\cdots<x_0\)，使得 \(f(x_{n-1})<a-\varepsilon_n<f(x_n)<a\)，\\ |
| 59 | + 且 \(\{a-f(x_n)\}\) 收敛于 \(0\).\\ |
| 60 | + 由\(f\)单调性不难知\(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=a\)，即左极限存在。同理右极限存在。故不存在第二类间断点\\ |
| 61 | + 易知 \(f\) 作为连续区间上的单增函数不存在可去间断点，故其间断点只能是跳跃间断点，得证. |
| 62 | + |
| 63 | + \item[三、] |
| 64 | + 证明：\(x_{n+1}-x_{n}=\dfrac{1}{4(1-x_n)}-x_n=\dfrac{(1-2x_n)^2}{4(1-x_n)}>0\)，故 \(\{x_n\}\) 单调递增.\\ |
| 65 | + 且若 \(x_n<\dfrac{1}{2}\)，则 \(x_{n+1}=\dfrac{1}{4(1-x_n)}<\dfrac{1}{4(1-\frac{1}{2})}=\dfrac{1}{2}\)，故 \(\{x_n\}\) 有上界. 故 \(\{x_n\}\) 收敛.\\ |
| 66 | + 设 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a\)，则 \(a=\dfrac{1}{4(1-a)}\)，解得 \(a=\dfrac{1}{2}\).得证. |
| 67 | + |
| 68 | + \item[四、]由导数局部保号性与拉格朗日中值定理，\\ |
| 69 | + \(\exists x_1\in U_+^o(0),x_2\in U_-^o(2025),\exists \xi_1\in (0,x_1),\exists \xi_2\in (x_2,2025)\)，\\ |
| 70 | + 使得\(f(x_1)=f'(\xi_1)x_1>0,f(x_2)=f'(\xi_2)(x_2-2025)<0\)，由\(f\)连续及零点存在性定理得证. |
| 71 | + |
| 72 | + \item[五、]一致连续：\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x,y\in I,\vert x-y\vert<\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon\)，则称\(f\)在\(I\)上一致连续.\\ |
| 73 | + 证明：不难证明，若\(f\)在\(I_1\)上一致连续，在\(I_2\)上也一致连续，且\(I_1\)与\(I_2\)为两个相接的区间，则\(f\)在\(I_1\cup I_2\)上一致连续.\\ |
| 74 | + (只需任取\(\dfrac{\varepsilon}{2}\)，相应的有两个\(\delta_1,\delta_2\)，取\(\delta=\min{\delta_1,\delta_2}\)， |
| 75 | + 则可证明\(\forall x,y\in I_1\cup I_2,\vert x-y\vert<\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon\))\\ |
| 76 | + \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln x}{x^{-\frac{1}{2}}}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^{-1}}{-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}}=0\)，故\(f(x)\)在\((0,1]\)上一致连续.\\ |
| 77 | + 故只需证明\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上一致连续.\\ |
| 78 | + 由拉格朗日中值定理，只需证明\(f'(x)\)在\((1,+\infty)\)上有界.\\ |
| 79 | + \(f'(x)=\dfrac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{2\ln\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}}=\dfrac{\ln t+1}{t}\).\\ |
| 80 | + 其中\(t=\sqrt{x}\)，且不难证明在\((1,+\infty)\)上\(0<\dfrac{\ln t+1}{t}<1\)恒成立，得证. |
| 81 | + |
| 82 | + \item[六、]注意到\(\int_{0}^{1}x^2 \mathrm{d}x=\frac{1}{3}\)，故只需证明\(\int_{0}^{1}f(x^2) \mathrm{d}x\leq f(\int_{0}^{1}x^2 \mathrm{d}x)\).\\ |
| 83 | + 由定积分定义与琴生不等式，\\ |
| 84 | + \begin{align*} |
| 85 | + f(\int_{0}^{1}x^2 \mathrm{d}x)&=f(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k^2}{n^2})\\ |
| 86 | + &\geq \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}f(\dfrac{k^2}{n^2})\\ |
| 87 | + &=\int_{0}^{1}f(x^2) \mathrm{d}x. |
| 88 | + \end{align*} |
| 89 | + 得证。 |
| 90 | + |
| 91 | + \item[七、]\(f\in C[0,1]\),证明： |
| 92 | + \begin{enumerate}[leftmargin=*,labelwidth=!,labelsep=0pt] |
| 93 | + \item[(1)] 令\(F(t)=\int_{0}^{t}f(x)\mathrm{d}x+\int_{1-t}^{1}f(x)\mathrm{d}x,t\in [0,\dfrac{1}{2}]\). |
| 94 | + 则由\(f\in C[0,1]\)知\(F(t)\in C[0,\dfrac{1}{2}]\)，且\(F(0)=0,F(\dfrac{1}{2})=\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x\).\\ |
| 95 | + 由介值定理，\(\exists\xi\in[0,\dfrac{1}{2}]\),使得\(F(\xi)=\dfrac{1}{2}F(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}f(x) \mathrm{d}x\).\\ |
| 96 | + \item[(2)] 不成立，反例： |
| 97 | + \(f(x)=\cos 2\pi x\)，则\(F(t)=\dfrac{1}{2\pi}\sin 2\pi x\vert_{0}^{t}+\dfrac{1}{2\pi}\sin 2\pi x\vert_{1-t}^{1}=\dfrac{1}{\pi}\sin 2\pi t\)，\\ |
| 98 | + \(F(0)=F(\dfrac{1}{2})=0\)，但不存在\(\xi\in (0,\dfrac{1}{2})\)使得\(F(\xi)=0\)，故结论不成立. |
| 99 | + \end{enumerate} |
| 100 | + |
| 101 | +\end{enumerate} |
| 102 | + |
| 103 | +\end{document} |
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