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<title>Capítulo 16 Apéndice I: CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS | Introducción a la Genética de Poblaciones y a la Genética Cuantitativa</title>
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<li><a href="./">Genética II</a></li>
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<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html#nuestra-filosofía-del-no-tanto"><i class="fa fa-check"></i>Nuestra filosofía del NO (tanto)</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html#qué-es-y-qué-no-es-este-libro"><i class="fa fa-check"></i>¿Qué ES y qué NO ES este libro?</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html#bibliografía-recomendada-para-este-curso"><i class="fa fa-check"></i>Bibliografía recomendada para este curso</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html#responsabilidades-y-agradecimientos"><i class="fa fa-check"></i>Responsabilidades y Agradecimientos</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html#íconos-utilizados-en-este-libro"><i class="fa fa-check"></i>Íconos utilizados en este libro</a></li>
</ul></li>
<li class="part"><span><b>Parte I: Genómica</b></span></li>
<li class="chapter" data-level="1" data-path="intro.html"><a href="intro.html"><i class="fa fa-check"></i><b>1</b> Introducción a la Genómica</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.1" data-path="intro.html"><a href="intro.html#variabilidad-genética"><i class="fa fa-check"></i><b>1.1</b> Variabilidad genética</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.2" data-path="intro.html"><a href="intro.html#genómica-composicional"><i class="fa fa-check"></i><b>1.2</b> Genómica composicional</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.3" data-path="intro.html"><a href="intro.html#genómica-comparativa"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3</b> Genómica comparativa</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4" data-path="intro.html"><a href="intro.html#genómica-funcional"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4</b> Genómica funcional</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.5" data-path="intro.html"><a href="intro.html#conclusión"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.6" data-path="intro.html"><a href="intro.html#actividades"><i class="fa fa-check"></i><b>1.6</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="part"><span><b>Parte II: Genética de Poblaciones</b></span></li>
<li class="chapter" data-level="2" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html"><i class="fa fa-check"></i><b>2</b> Variación y equilibrio de Hardy-Weinberg</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.1" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#el-equilibrio-de-hardy-weinberg"><i class="fa fa-check"></i><b>2.1</b> El equilibrio de Hardy-Weinberg</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.2" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#hardy-weinberg-en-especies-dioicas-dos-sexos"><i class="fa fa-check"></i><b>2.2</b> Hardy-Weinberg en especies dioicas (dos sexos)</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.3" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#heterocigotas-freq-alelica"><i class="fa fa-check"></i><b>2.3</b> H-W: la frecuencia de heterocigotas en función de la frecuencia alélica</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.4" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#el-equilibrio-de-hardy-weinberg-en-cromosomas-ligados-al-sexo"><i class="fa fa-check"></i><b>2.4</b> El equilibrio de Hardy-Weinberg en cromosomas ligados al sexo</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#tres-o-más-alelos"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5</b> Tres o más alelos</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.6" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#la-estimación-de-frecuencias-y-el-equilibrio-o-no"><i class="fa fa-check"></i><b>2.6</b> La estimación de frecuencias y el equilibrio (o no)</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.7" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#el-sistema-abo"><i class="fa fa-check"></i><b>2.7</b> El sistema ABO</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#dónde-se-esconden-los-alelos-recesivos"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8</b> ¿Dónde se “esconden” los alelos recesivos?</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.9" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#hardy-weinberg-en-especies-poliploides"><i class="fa fa-check"></i><b>2.9</b> Hardy-Weinberg en especies poliploides</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.10" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#geometría-y-genética-los-diagramas-de-de-finetti"><i class="fa fa-check"></i><b>2.10</b> Geometría y Genética: los diagramas de <em>de Finetti</em></a></li>
<li class="chapter" data-level="2.11" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#estimacion-abo"><i class="fa fa-check"></i><b>2.11</b> La estimación de frecuencias en el locus ABO</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.12" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#conclusión-1"><i class="fa fa-check"></i><b>2.12</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.13" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#actividades-1"><i class="fa fa-check"></i><b>2.13</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html"><i class="fa fa-check"></i><b>3</b> Deriva genética</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.1" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#el-rol-de-los-procesos-estocásticos-en-la-genética"><i class="fa fa-check"></i><b>3.1</b> El rol de los procesos estocásticos en la genética</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.2" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#el-modelo-de-wright-fisher"><i class="fa fa-check"></i><b>3.2</b> El modelo de Wright-Fisher</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#el-rol-de-la-subdivisión-poblacional-en-la-evolución-de-las-frecuencias-alélicas"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3</b> El rol de la subdivisión poblacional en la evolución de las frecuencias alélicas</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.4" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#cadenas-de-markov"><i class="fa fa-check"></i><b>3.4</b> Cadenas de Markov</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.5" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#tamaño-efectivo-poblacional"><i class="fa fa-check"></i><b>3.5</b> Tamaño efectivo poblacional</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.6" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#aproximación-de-difusión"><i class="fa fa-check"></i><b>3.6</b> Aproximación de difusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.7" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#probabilidad-de-fijación-y-tiempos-de-fijación"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7</b> Probabilidad de fijación y tiempos de fijación</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.8" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#el-modelo-coalescente"><i class="fa fa-check"></i><b>3.8</b> El modelo coalescente</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.9" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#conclusión-2"><i class="fa fa-check"></i><b>3.9</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.10" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#actividades-2"><i class="fa fa-check"></i><b>3.10</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html"><i class="fa fa-check"></i><b>4</b> Selección natural</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.1" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#el-concepto-de-fitness"><i class="fa fa-check"></i><b>4.1</b> El concepto de “<em>fitness</em>”</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.2" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#selección-natural-en-el-modelo-de-un-locus-con-dos-alelos"><i class="fa fa-check"></i><b>4.2</b> Selección natural en el modelo de un locus con dos alelos</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.3" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#diferentes-formas-de-selección"><i class="fa fa-check"></i><b>4.3</b> Diferentes formas de selección</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.4" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#el-teorema-fundamental-de-la-selección-natural"><i class="fa fa-check"></i><b>4.4</b> El teorema fundamental de la selección natural</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.5" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#equilibrio-selección-mutación"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5</b> Equilibrio selección-mutación</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.6" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#la-fuerza-de-la-selección-natural"><i class="fa fa-check"></i><b>4.6</b> La fuerza de la selección natural</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.7" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#equilibrio-selección-deriva"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7</b> Equilibrio selección-deriva</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.8" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#otros-tipos-de-selección-y-complejidades"><i class="fa fa-check"></i><b>4.8</b> Otros tipos de selección y complejidades</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.9" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#conclusión-3"><i class="fa fa-check"></i><b>4.9</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.10" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#actividades-3"><i class="fa fa-check"></i><b>4.10</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html"><i class="fa fa-check"></i><b>5</b> Dinámica de 2 <em>loci</em></a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.1" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#desequilibrio-de-ligamiento-y-recombinación"><i class="fa fa-check"></i><b>5.1</b> Desequilibrio de ligamiento y recombinación</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.2" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#la-evolución-en-el-tiempo-del-desequilibrio-de-ligamiento"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2</b> La evolución en el tiempo del desequilibrio de ligamiento</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.3" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#otras-medidas-de-asociación"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3</b> Otras medidas de asociación</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.4" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#selección-en-modelos-de-dos-loci"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4</b> Selección en modelos de dos <em>loci</em></a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#arrastre-genético-genetic-hitchhiking-o-genetic-draft"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5</b> Arrastre genético (“<em>genetic hitchhiking</em>” o “<em>genetic draft</em>”)</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.6" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#causas-del-desequilibrio-de-ligamiento"><i class="fa fa-check"></i><b>5.6</b> Causas del desequilibrio de ligamiento</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.7" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#conclusión-4"><i class="fa fa-check"></i><b>5.7</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.8" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#actividades-4"><i class="fa fa-check"></i><b>5.8</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html"><i class="fa fa-check"></i><b>6</b> Apareamientos no-aleatorios</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.1" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#el-concepto-de-identidad-por-ascendencia-ibd"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1</b> El concepto de “identidad por ascendencia” (IBD)</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.2" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#generalización-de-hardy-weinberg-para-apareamientos-no-aleatorios"><i class="fa fa-check"></i><b>6.2</b> Generalización de Hardy-Weinberg para apareamientos no-aleatorios</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.3" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#f-como-correlación-entre-gametos-unidos"><i class="fa fa-check"></i><b>6.3</b> <span class="math inline">\(F\)</span> como correlación entre gametos unidos</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.4" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#endocría-y-depresión-endogámica"><i class="fa fa-check"></i><b>6.4</b> Endocría y depresión endogámica</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.5" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#un-caso-extremo-la-autogamia"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5</b> Un caso extremo: la autogamia</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.6" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#el-coeficiente-de-endocría-y-los-estadísticos-f"><i class="fa fa-check"></i><b>6.6</b> El coeficiente de endocría y los estadísticos <em>F</em></a></li>
<li class="chapter" data-level="6.7" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#el-efecto-wahlund"><i class="fa fa-check"></i><b>6.7</b> El efecto Wahlund</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.8" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#subdivisión-migración-y-el-modelo-de-islas"><i class="fa fa-check"></i><b>6.8</b> Subdivisión, migración y el modelo de islas</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.9" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#mecanismos-de-especiación"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9</b> Mecanismos de especiación</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.10" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#conclusión-5"><i class="fa fa-check"></i><b>6.10</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.11" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#actividades-5"><i class="fa fa-check"></i><b>6.11</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html"><i class="fa fa-check"></i><b>7</b> Genética de poblaciones microbianas</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.1" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#genómica-y-mecanismos-de-herencia-en-procariotas"><i class="fa fa-check"></i><b>7.1</b> Genómica y mecanismos de herencia en procariotas</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.2" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#dinámica-de-las-poblaciones-bacterianas"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2</b> Dinámica de las poblaciones bacterianas</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.3" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#modelos-haploides-de-selección-natural"><i class="fa fa-check"></i><b>7.3</b> Modelos haploides de selección natural</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.4" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#los-modelos-de-moran-y-de-fisión-vs-el-de-wright-fisher"><i class="fa fa-check"></i><b>7.4</b> Los modelos de Moran y de fisión <em>vs</em> el de Wright-Fisher</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.5" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#el-rol-de-la-transferencia-horizontal"><i class="fa fa-check"></i><b>7.5</b> El rol de la transferencia horizontal</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.6" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#seleccionismo-vs-neutralismo-los-procariotas-en-el-debate"><i class="fa fa-check"></i><b>7.6</b> Seleccionismo <em>vs</em> neutralismo: los procariotas en el debate</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.7" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#genómica-poblacional"><i class="fa fa-check"></i><b>7.7</b> Genómica poblacional</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.8" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#genes-de-resistencia"><i class="fa fa-check"></i><b>7.8</b> Genes de resistencia</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.9" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#introducción-a-la-epidemiología-modelos-compartimentales"><i class="fa fa-check"></i><b>7.9</b> Introducción a la epidemiología: modelos compartimentales</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.10" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#conclusión-6"><i class="fa fa-check"></i><b>7.10</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.11" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#actividades-6"><i class="fa fa-check"></i><b>7.11</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="part"><span><b>Parte III: Genética Cuantitativa</b></span></li>
<li class="chapter" data-level="8" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html"><i class="fa fa-check"></i><b>8</b> El modelo genético básico</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="8.1" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#variación-continua-y-discreta"><i class="fa fa-check"></i><b>8.1</b> Variación continua y discreta</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#el-modelo-genético-básico"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2</b> El modelo genético básico</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.3" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#modelo-genético-básico-un-locus-con-dos-alelos"><i class="fa fa-check"></i><b>8.3</b> Modelo genético básico: un <em>locus</em> con dos alelos</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.4" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#efecto-medio"><i class="fa fa-check"></i><b>8.4</b> Efecto medio</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.5" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#valor-reproductivo-o-valor-de-cría"><i class="fa fa-check"></i><b>8.5</b> Valor reproductivo (o valor de cría)</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.6" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#desvío-de-dominancia"><i class="fa fa-check"></i><b>8.6</b> Desvío de dominancia</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.7" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#interacción-genotipo-x-ambiente"><i class="fa fa-check"></i><b>8.7</b> Interacción Genotipo x Ambiente</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.8" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#la-varianza-en-el-modelo-genético-básico"><i class="fa fa-check"></i><b>8.8</b> La varianza en el modelo genético básico</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.9" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#conclusión-7"><i class="fa fa-check"></i><b>8.9</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.10" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#actividades-7"><i class="fa fa-check"></i><b>8.10</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html"><i class="fa fa-check"></i><b>9</b> Parentesco y semejanza entre parientes</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.1" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#parentesco-1"><i class="fa fa-check"></i><b>9.1</b> Parentesco</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#parentesco-aditivo"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2</b> Parentesco aditivo</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.3" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#parentesco-de-dominancia"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3</b> Parentesco de dominancia</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.4" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#semejanza-entre-parientes"><i class="fa fa-check"></i><b>9.4</b> Semejanza entre parientes</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.5" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#estimación-de-las-varianzas-aditiva-y-de-dominancia"><i class="fa fa-check"></i><b>9.5</b> Estimación de las varianzas aditiva y de dominancia</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.6" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#parentesco-genómico"><i class="fa fa-check"></i><b>9.6</b> Parentesco genómico</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.7" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#estudios-de-ascendencia-ancestría"><i class="fa fa-check"></i><b>9.7</b> Estudios de ascendencia (“ancestría”)</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.8" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#conclusión-8"><i class="fa fa-check"></i><b>9.8</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.9" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#actividades-8"><i class="fa fa-check"></i><b>9.9</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html"><i class="fa fa-check"></i><b>10</b> Parámetros genéticos: heredabilidad y repetibilidad</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.1" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad"><i class="fa fa-check"></i><b>10.1</b> Heredabilidad</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.2" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad-en-sentido-amplio-y-sentido-estricto"><i class="fa fa-check"></i><b>10.2</b> Heredabilidad en sentido amplio y sentido estricto</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.3" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad-lograda"><i class="fa fa-check"></i><b>10.3</b> Heredabilidad lograda</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.4" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad-en-poblaciones-agronómicas-y-de-laboratorio-vs-poblaciones-naturales"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4</b> Heredabilidad en poblaciones agronómicas y de laboratorio vs poblaciones naturales</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.5" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad-y-filogenética"><i class="fa fa-check"></i><b>10.5</b> Heredabilidad y filogenética</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.6" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad-en-la-era-genómica"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6</b> Heredabilidad en la era genómica</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.7" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#métodos-más-avanzados-de-estimación"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7</b> Métodos más avanzados de estimación</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.8" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#repetibilidad"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8</b> Repetibilidad</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#la-repetibilidad-como-herramienta-en-la-predicción"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9</b> La repetibilidad como herramienta en la predicción</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.10" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#evolucionabilidad"><i class="fa fa-check"></i><b>10.10</b> Evolucionabilidad</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.11" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#conclusión-9"><i class="fa fa-check"></i><b>10.11</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.12" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#actividades-9"><i class="fa fa-check"></i><b>10.12</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="11" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html"><i class="fa fa-check"></i><b>11</b> Selección Artificial I</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="11.1" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#factores-de-corrección"><i class="fa fa-check"></i><b>11.1</b> Factores de corrección</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.2" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#la-respuesta-a-la-selección-y-su-predicción"><i class="fa fa-check"></i><b>11.2</b> La respuesta a la selección y su predicción</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.3" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#diferencial-de-selección-e-intensidad-de-selección"><i class="fa fa-check"></i><b>11.3</b> Diferencial de selección e intensidad de selección</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.4" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#intensidad-de-selección-y-proporción-seleccionada"><i class="fa fa-check"></i><b>11.4</b> Intensidad de selección y proporción seleccionada</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.5" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#intervalo-generacional"><i class="fa fa-check"></i><b>11.5</b> Intervalo generacional</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.6" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#medidas-de-la-respuesta"><i class="fa fa-check"></i><b>11.6</b> Medidas de la respuesta</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.7" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#progreso-genético-generacional-y-anual"><i class="fa fa-check"></i><b>11.7</b> Progreso genético generacional y anual</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.8" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#cambio-en-las-frecuencias-alélicas-bajo-selección-artificial"><i class="fa fa-check"></i><b>11.8</b> Cambio en las frecuencias alélicas bajo selección artificial</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.9" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#el-diferencial-de-selección-direccional-y-la-identidad-de-robertson-price"><i class="fa fa-check"></i><b>11.9</b> El diferencial de selección direccional y la identidad de Robertson-Price</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.10" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#conclusión-10"><i class="fa fa-check"></i><b>11.10</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.11" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#actividades-10"><i class="fa fa-check"></i><b>11.11</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="12" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html"><i class="fa fa-check"></i><b>12</b> Correlaciones y respuesta correlacionada</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="12.1" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#causas-genéticas-y-ambientales-de-las-correlaciones"><i class="fa fa-check"></i><b>12.1</b> Causas genéticas y ambientales de las correlaciones</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.2" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#introducción-al-path-analysis"><i class="fa fa-check"></i><b>12.2</b> Introducción al “<em>path analysis</em>”</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.3" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#métodos-para-determinar-la-correlación-genética"><i class="fa fa-check"></i><b>12.3</b> Métodos para determinar la correlación genética</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.4" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#la-correlación-fenotípica-y-su-relación-con-la-correlación-genética-aditiva-y-ambiental"><i class="fa fa-check"></i><b>12.4</b> La correlación fenotípica y su relación con la correlación genética aditiva y ambiental</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.5" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#respuesta-correlacionada"><i class="fa fa-check"></i><b>12.5</b> Respuesta correlacionada</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.6" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#matrices-de-varianza-covarianza"><i class="fa fa-check"></i><b>12.6</b> Matrices de varianza-covarianza</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.7" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#la-forma-generalizada-de-la-ecuación-del-criador"><i class="fa fa-check"></i><b>12.7</b> La forma generalizada de la ecuación del criador</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.8" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#conclusión-11"><i class="fa fa-check"></i><b>12.8</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.9" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#actividades-11"><i class="fa fa-check"></i><b>12.9</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="13" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html"><i class="fa fa-check"></i><b>13</b> Selección Artificial II</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="13.1" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#criterios-y-objetivos-de-selección"><i class="fa fa-check"></i><b>13.1</b> Criterios y objetivos de selección</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.2" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#selección-basada-en-un-solo-tipo-de-fuente-de-información"><i class="fa fa-check"></i><b>13.2</b> Selección basada en un solo tipo de fuente de información</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.3" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#combinando-la-información-proporcionada-por-diferentes-tipos-de-parientes"><i class="fa fa-check"></i><b>13.3</b> Combinando la información proporcionada por diferentes tipos de parientes</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.4" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#métodos-de-selección-para-varias-características"><i class="fa fa-check"></i><b>13.4</b> Métodos de selección para varias características</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.5" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#índices-de-selección-para-múltiples-características"><i class="fa fa-check"></i><b>13.5</b> Índices de selección para múltiples características</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.6" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#métodos-y-técnicas-avanzadas-de-selección"><i class="fa fa-check"></i><b>13.6</b> Métodos y técnicas avanzadas de selección</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.7" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#conclusión-12"><i class="fa fa-check"></i><b>13.7</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.8" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#actividades-12"><i class="fa fa-check"></i><b>13.8</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="14" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html"><i class="fa fa-check"></i><b>14</b> Endocría, exocría, consanguinidad y depresión endogámica</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="14.1" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#el-aumento-de-la-consanguinidad-a-partir-del-número-de-individuos"><i class="fa fa-check"></i><b>14.1</b> El aumento de la consanguinidad a partir del número de individuos</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.2" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#el-coeficiente-de-consanguinidad-en-razas-lecheras"><i class="fa fa-check"></i><b>14.2</b> El coeficiente de consanguinidad en razas lecheras</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.3" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#depresión-endogámica"><i class="fa fa-check"></i><b>14.3</b> Depresión endogámica</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.4" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#exocría-y-heterosis"><i class="fa fa-check"></i><b>14.4</b> Exocría y heterosis</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.5" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#modelo-genético-de-cruzamientos"><i class="fa fa-check"></i><b>14.5</b> Modelo genético de cruzamientos</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.6" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#conclusión-13"><i class="fa fa-check"></i><b>14.6</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.7" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#actividades-13"><i class="fa fa-check"></i><b>14.7</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="15" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html"><i class="fa fa-check"></i><b>15</b> Normas de reacción e interacción genotipo x ambiente</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="15.1" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#plasticidad-fenotípica-y-normas-de-reacción"><i class="fa fa-check"></i><b>15.1</b> Plasticidad fenotípica y normas de reacción</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.2" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#interacción-gxe-en-dos-ambientes"><i class="fa fa-check"></i><b>15.2</b> Interacción GxE en dos ambientes</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.3" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#correlación-genética-a-través-de-dos-ambientes"><i class="fa fa-check"></i><b>15.3</b> Correlación genética a través de dos ambientes</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.4" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#genética-cuantitativa-de-la-interacción-gxe"><i class="fa fa-check"></i><b>15.4</b> Genética cuantitativa de la interacción GxE</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.5" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#otros-ejemplos-de-interacción-genotipo-ambiente"><i class="fa fa-check"></i><b>15.5</b> Otros ejemplos de interacción genotipo-ambiente</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.6" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#conclusión-14"><i class="fa fa-check"></i><b>15.6</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.7" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#actividades-14"><i class="fa fa-check"></i><b>15.7</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="16" data-path="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html"><i class="fa fa-check"></i><b>16</b> Apéndice I: CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="16.1" data-path="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#fracciones"><i class="fa fa-check"></i><b>16.1</b> FRACCIONES</a></li>
<li class="chapter" data-level="16.2" data-path="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#proporcionalidad"><i class="fa fa-check"></i><b>16.2</b> PROPORCIONALIDAD</a></li>
<li class="chapter" data-level="16.3" data-path="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#cifras-significativas-y-redondeo"><i class="fa fa-check"></i><b>16.3</b> CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y REDONDEO</a></li>
<li class="chapter" data-level="16.4" data-path="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#notación-científica"><i class="fa fa-check"></i><b>16.4</b> NOTACIÓN CIENTÍFICA</a></li>
<li class="chapter" data-level="16.5" data-path="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ecuaciones"><i class="fa fa-check"></i><b>16.5</b> ECUACIONES</a></li>
<li class="chapter" data-level="16.6" data-path="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#funciones"><i class="fa fa-check"></i><b>16.6</b> FUNCIONES</a></li>
<li class="chapter" data-level="16.7" data-path="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#sumatoria-y-productoria"><i class="fa fa-check"></i><b>16.7</b> SUMATORIA Y PRODUCTORIA</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="17" data-path="apéndice-ii-cálculo-diferencial-e-integral.html"><a href="apéndice-ii-cálculo-diferencial-e-integral.html"><i class="fa fa-check"></i><b>17</b> Apéndice II: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="17.1" data-path="apéndice-ii-cálculo-diferencial-e-integral.html"><a href="apéndice-ii-cálculo-diferencial-e-integral.html#límites"><i class="fa fa-check"></i><b>17.1</b> LÍMITES</a></li>
<li class="chapter" data-level="17.2" data-path="apéndice-ii-cálculo-diferencial-e-integral.html"><a href="apéndice-ii-cálculo-diferencial-e-integral.html#derivadas"><i class="fa fa-check"></i><b>17.2</b> DERIVADAS</a></li>
<li class="chapter" data-level="17.3" data-path="apéndice-ii-cálculo-diferencial-e-integral.html"><a href="apéndice-ii-cálculo-diferencial-e-integral.html#integrales"><i class="fa fa-check"></i><b>17.3</b> INTEGRALES</a></li>
<li class="chapter" data-level="17.4" data-path="apéndice-ii-cálculo-diferencial-e-integral.html"><a href="apéndice-ii-cálculo-diferencial-e-integral.html#ecuaciones-diferenciales"><i class="fa fa-check"></i><b>17.4</b> ECUACIONES DIFERENCIALES</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="18" data-path="apéndice-iii-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-iii-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><i class="fa fa-check"></i><b>18</b> Apéndice III: ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="18.1" data-path="apéndice-iii-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-iii-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#matrices"><i class="fa fa-check"></i><b>18.1</b> MATRICES</a></li>
<li class="chapter" data-level="18.2" data-path="apéndice-iii-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-iii-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#norma-producto-escalar-y-producto-vectorial"><i class="fa fa-check"></i><b>18.2</b> NORMA, PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL</a></li>
<li class="chapter" data-level="18.3" data-path="apéndice-iii-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-iii-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#agregar-imagen-vectores"><i class="fa fa-check"></i><b>18.3</b> AGREGAR IMAGEN VECTORES</a></li>
<li class="chapter" data-level="18.4" data-path="apéndice-iii-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-iii-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#transformaciones-lineales"><i class="fa fa-check"></i><b>18.4</b> TRANSFORMACIONES LINEALES</a></li>
<li class="chapter" data-level="18.5" data-path="apéndice-iii-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-iii-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#valores-y-vectores-propios"><i class="fa fa-check"></i><b>18.5</b> VALORES Y VECTORES PROPIOS</a></li>
<li class="chapter" data-level="18.6" data-path="apéndice-iii-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-iii-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#derivada-de-la-forma-cuadrática"><i class="fa fa-check"></i><b>18.6</b> DERIVADA DE LA FORMA CUADRÁTICA</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="19" data-path="apéndice-iv-probabilidad-y-estadística.html"><a href="apéndice-iv-probabilidad-y-estadística.html"><i class="fa fa-check"></i><b>19</b> Apéndice IV: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="19.1" data-path="apéndice-iv-probabilidad-y-estadística.html"><a href="apéndice-iv-probabilidad-y-estadística.html#probabilidad-y-conteo"><i class="fa fa-check"></i><b>19.1</b> PROBABILIDAD Y CONTEO</a></li>
<li class="chapter" data-level="19.2" data-path="apéndice-iv-probabilidad-y-estadística.html"><a href="apéndice-iv-probabilidad-y-estadística.html#variables-aleatorias"><i class="fa fa-check"></i><b>19.2</b> VARIABLES ALEATORIAS</a></li>
<li class="chapter" data-level="19.3" data-path="apéndice-iv-probabilidad-y-estadística.html"><a href="apéndice-iv-probabilidad-y-estadística.html#estimadores"><i class="fa fa-check"></i><b>19.3</b> ESTIMADORES</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="20" data-path="bibliografia.html"><a href="bibliografia.html"><i class="fa fa-check"></i><b>20</b> Bibliografía</a></li>
<li class="divider"></li>
<li><a href="https://github.com/rstudio/bookdown" target="blank">Published with bookdown</a></li>
</ul>
</nav>
</div>
<div class="book-body">
<div class="body-inner">
<div class="book-header" role="navigation">
<h1>
<i class="fa fa-circle-o-notch fa-spin"></i><a href="./">Introducción a la Genética de Poblaciones y a la Genética Cuantitativa</a>
</h1>
</div>
<div class="page-wrapper" tabindex="-1" role="main">
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<section class="normal" id="section-">
<div id="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos" class="section level1 hasAnchor" number="16">
<h1><span class="header-section-number">Capítulo 16</span> Apéndice I: CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h1>
<div id="fracciones" class="section level2 hasAnchor" number="16.1">
<h2><span class="header-section-number">16.1</span> FRACCIONES<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#fracciones" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<p>Una fracción, representada de la forma <span class="math inline">\(\frac{n}{m}\)</span>, es un cociente entre dos números enteros (<em>n</em> y <em>m</em>) que representa un valor numérico. Al número <em>m</em> se lo llama <strong>denominador</strong> e indica en cuántas partes iguales se divide una unidad. Por su parte <em>n</em> es el numerador e indica cuantas partes se deben tomar.</p>
<div id="fracciones-equivalentes-y-fracciones-irreducibles" class="section level3 hasAnchor" number="16.1.1">
<h3><span class="header-section-number">16.1.1</span> Fracciones equivalentes y fracciones irreducibles<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#fracciones-equivalentes-y-fracciones-irreducibles" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Se dice que dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número, por más que tengan distinto numerador y denominador. Para comprobar si dos fracciones son equivalentes se utiliza el método de productos cruzados. Se multiplica el numerador de una con el denominador de la otra y viceversa, y si ambos productos dan igual, las fracciones son equivalentes. Cada fracción posee infinitas fracciones equivalentes a ella y podemos obtener las mismas mediante dos métodos: <em>amplificación</em> y <em>simplificación</em>.</p>
<p>La amplificación consiste en la multiplicación de numerador y denominador por un mismo número mientras que la simplificación consiste en la división de los factores por un número que se podrá lograr únicamente si ambos son divisibles por el mismo. Si el número
entre el que se divide es el máximo común denominador, se obtiene una <em>fracción irreducible</em>. Una fracción irreducible es aquella que no se puede simplificar y esto sucede cuando numerador y denominador son primos entre sí.</p>
</div>
<div id="operaciones-con-fracciones" class="section level3 hasAnchor" number="16.1.2">
<h3><span class="header-section-number">16.1.2</span> Operaciones con fracciones<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#operaciones-con-fracciones" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Sean <span class="math inline">\(\frac{n}{m}\)</span> y <span class="math inline">\(\frac{p}{q}\)</span> dos fracciones. Se definen las siguientes operaciones entre ellas:</p>
<div id="suma" class="section level4 hasAnchor" number="16.1.2.1">
<h4><span class="header-section-number">16.1.2.1</span> Suma:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#suma" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p><span class="math inline">\(\frac{n}{m} + \frac{p}{q} = \frac{nq + pm}{mq}\)</span> donde m y q son dos números naturales distintos.</p>
<p>En caso de ser iguales, basta con sumar los numeradores y el denominador del resultado será el denominador de los sumandos. Se escribe de la forma <span class="math inline">\(\frac{n}{m} + \frac{p}{m} = \frac{n + p}{m}\)</span>.</p>
<div id="ejemplo" class="section level5 unnumbered hasAnchor">
<h5>Ejemplo:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ejemplo" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h5>
<p>Un campo tiene un total de 3500 ha y se encuentra dividido en diversas fracciones. Como superficie cultivable se cuenta con dos fracciones que poseen <span class="math inline">\(\frac{1}{7}\)</span> y <span class="math inline">\(\frac{3}{17}\)</span> del total del campo. ¿Cuál es la superficie cultivable?</p>
<p>La fracción de la superficie total que es cultivable es la suma de las dos fracciones, es decir <span class="math inline">\(\frac{1}{7}+\frac{3}{17}=\frac{1.17+3.7}{7.17}=\frac{38}{119}\)</span>. Como la superficie total es de 3500 ha, entonces dicha superficie será <span class="math inline">\(3500.\frac{38}{119}=\frac{3500.38}{119} \approx 1117,6\)</span> ha.</p>
</div>
</div>
<div id="resta" class="section level4 hasAnchor" number="16.1.2.2">
<h4><span class="header-section-number">16.1.2.2</span> Resta:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#resta" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Al igual que la suma, se definen dos casos diferenciando si las fracciones tienen igual denominador o distinto. Si m y q son distintos, se define la resta como <span class="math inline">\(\frac{n}{m} - \frac{p}{q} = \frac{nq - pm}{mq}\)</span> mientras que si son iguales el resultado de la resta es <span class="math inline">\(\frac{n - p}{m}\)</span>.</p>
<div id="ejemplo-1" class="section level5 unnumbered hasAnchor">
<h5>Ejemplo:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ejemplo-1" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h5>
<p>Las reservas forrajeras del establecimiento son de 1200 fardos, que asumimos vamos a utilizar durante tres meses en igual proporción. Sin embargo, por razones ajenas a nuestra voluntad, antes de entrar en el último de los meses debimos vender la cuarta parte del total de nuestras reservas. ¿Con cuánto forraje me quedé para el último mes?</p>
<p>Al último mes le correspondería un tercio de la reservas originales, pero debimos vender un cuarto antes, por lo que me queda para este último mes:</p>
<p><span class="math inline">\(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1.4-1.3}{3.4}=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12}\)</span></p>
<p>Como el total eran 1200 fardos, tenemos que <span class="math inline">\(1200 \frac{1}{12}=\frac{1200}{12}=100\)</span> fardos.</p>
</div>
</div>
<div id="multiplicación" class="section level4 hasAnchor" number="16.1.2.3">
<h4><span class="header-section-number">16.1.2.3</span> Multiplicación:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#multiplicación" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p><span class="math inline">\(\frac{n}{m} . \frac{p}{q} = \frac{np}{mq}\)</span></p>
<div id="ejemplo-2" class="section level5 unnumbered hasAnchor">
<h5>Ejemplo:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ejemplo-2" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h5>
<p>Las reservas forrajeras del establecimiento son de 1200 fardos, que asumimos vamos a utilizar durante tres meses en igual proporción, pero que debemos distribuirlas en forma equitativa entre dos rodeos de cría separados que posee el establecimiento. ¿Cuánto forraje recibe cada rodeo mensualmente?</p>
<p>La fracción mensual que recibe cada rodeo sería la mitad de un tercio del total, es decir <span class="math inline">\(\frac{1}{3}\frac{1}{2}=\frac{1.1}{3.2}=\frac{1}{6}\)</span>. Como el total de las reservas era de 1200 fardos, entonces cada rodeo recibirá mensualmente <span class="math inline">\(1200 \frac{1}{6}=\frac{1200}{6}=200\)</span> fardos.</p>
</div>
</div>
<div id="división" class="section level4 hasAnchor" number="16.1.2.4">
<h4><span class="header-section-number">16.1.2.4</span> División:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#división" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>La división de fracciones consiste en la multiplicación de la fracción que corresponde al dividendo por el inverso a la que corresponde al divisor; o lo que es lo mismo, es la multiplicación cruzada de numerador y denominador. Se expresa de la siguiente manera: <span class="math inline">\(\frac{\frac{n}{m}}{\frac{p}{q}} = \frac{nq}{mp}\)</span>.</p>
</div>
</div>
<div id="común-denominador" class="section level3 hasAnchor" number="16.1.3">
<h3><span class="header-section-number">16.1.3</span> Común denominador<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#común-denominador" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Transformar varias fracciones a común denominador consiste en convertir cada una de ellas en otra fracción equivalente, pero buscando que todas tengan el mismo denominador. A continuación, se presentan dos métodos para hallar el común denominador:</p>
<div id="a-multiplicar-los-denominadores-entre-sí" class="section level4 hasAnchor" number="16.1.3.1">
<h4><span class="header-section-number">16.1.3.1</span> a) Multiplicar los denominadores entre sí:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#a-multiplicar-los-denominadores-entre-sí" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Para aplicar este método lo primero que se hará es multiplicar entre sí los denominadores de las fracciones que queremos convertir. A continuación, será necesario modificar los numeradores para no modificar el valor de la fracción; para ello, se divide el denominador común encontrado entre cada uno de los denominadores de cada fracción inicial. Por último, el resultado de cada una de esas divisiones se multiplica por el numerador de cada fracción inicial.</p>
<p>Este método a pesar de ser práctico puede resultar en trabajar con números bastante grandes lo que puede complicar futuros cálculos.</p>
<div id="ejemplo-3" class="section level5 unnumbered hasAnchor">
<h5>Ejemplo:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ejemplo-3" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h5>
<p>Sumar las fracciones <span class="math inline">\(\frac{3}{12}\)</span> y <span class="math inline">\(\frac{4}{18}\)</span>. El producto de los denominadores es <span class="math inline">\(12.18=216\)</span>. Para mantener las fracciones originales expresadas en este denominador, hacemos para la primera <span class="math inline">\(216/12=18\)</span> que sería el número por el que también hay que multiplicar el numerador si el nuevo denominador va a ser 216, es decir <span class="math inline">\(3.18=54\)</span> y por lo tanto la primera fracción quedará expresada como <span class="math inline">\(\frac{54}{216}\)</span>.</p>
<p>Para la segunda tenemos que <span class="math inline">\(216/18=12\)</span> y por lo tanto el numerador será <span class="math inline">\(4.12=48\)</span> y la fracción quedará expresada como <span class="math inline">\(\frac{48}{216}\)</span>. Ahora podemos sumar directamente las fracciones porque tienen el mismo denominador y por lo tanto <span class="math inline">\(\frac{3}{12}+\frac{4}{18}=\frac{54}{216}+\frac{48}{216}=\frac{102}{216}\)</span>.</p>
</div>
</div>
<div id="b-mínimo-común-múltiplo-mcm" class="section level4 hasAnchor" number="16.1.3.2">
<h4><span class="header-section-number">16.1.3.2</span> b) Mínimo común múltiplo (mcm)<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#b-mínimo-común-múltiplo-mcm" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Para aplicar este método lo primero que se debe hacer es descomponer cada denominador en factores primos.</p>
<p>A continuación, será necesario multiplicar todas las potencias producto de la descomposición, pero en caso de existir bases repetidas únicamente se utilizará la de mayor exponente.</p>
<p>Para modificar los numeradores se aplica el mismo proceso que en el método anterior.</p>
<p>El mcm tiende a ser un método más laborioso que el primero, sin embargo, nos permite operar con valores más pequeños.</p>
<div id="ejemplo-4" class="section level5 unnumbered hasAnchor">
<h5>Ejemplo:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ejemplo-4" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h5>
<p>Como en el ejemplo anterior, sumar las fracciones <span class="math inline">\(\frac{3}{12}\)</span> y <span class="math inline">\(\frac{4}{18}\)</span>. <span class="math inline">\(12=2.2.3=2^2.3\)</span>, mientras que <span class="math inline">\(18=2.3.3=2.3^2\)</span>. O sea, tenemos los números primos 2 y 3 constituyendo ambos denominadores. La mayor potencia de ambos es 2, por lo que el <strong>mcm</strong> será <span class="math inline">\(2^2.3^2=36\)</span>. Claramente <span class="math inline">\(36=12.3\)</span>, mientras que <span class="math inline">\(36=18.2\)</span>. Ahora, tenemos que <span class="math inline">\(\frac{3}{12}\equiv\frac{3}{3}\frac{3}{12}=\frac{9}{36}\)</span>, mientras que <span class="math inline">\(\frac{4}{18}\equiv\frac{2}{2}\frac{4}{18}=\frac{8}{36}\)</span>. Sumando directamente (porque los denominadores son iguales), tenemos <span class="math inline">\(\frac{9}{36}+\frac{8}{36}=\frac{17}{36}\)</span>.</p>
<p>Como verificación de que por ambos métodos llegamos a fracciones equivalentes, podemos notar que en <span class="math inline">\(\frac{102}{216}\)</span> tanto numerador como denominador son divisibles entre 6 (porque ambos son pares y además en ambos la suma de dígitos es divisible entre 3), por lo que <span class="math inline">\(102/6=17\)</span> y <span class="math inline">\(216/6=36\)</span> y por lo tanto <span class="math inline">\(\frac{102}{216}\equiv\frac{17}{36}\)</span>, que es lo mismo que obtuvimos por el método del <strong>mcm</strong>.</p>
<p><strong>Saber aplicar todas las transformaciones detalladas en esta sección será fundamental al momento de operar con fracciones.</strong></p>
</div>
</div>
</div>
<div id="operaciones-combinadas-con-fracciones" class="section level3 hasAnchor" number="16.1.4">
<h3><span class="header-section-number">16.1.4</span> Operaciones combinadas con fracciones<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#operaciones-combinadas-con-fracciones" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Al momento de realizar operaciones combinadas, las prioridades a seguir son las mismas que cuando se calculan utilizando números enteros, así pues:</p>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li><p>Calcular potencias y raíces</p></li>
<li><p>Realizar las operaciones entre paréntesis o llaves</p></li>
<li><p>Calcular los productos y cocientes</p></li>
<li><p>Calcular sumas y restas</p></li>
</ol>
</div>
</div>
<div id="proporcionalidad" class="section level2 hasAnchor" number="16.2">
<h2><span class="header-section-number">16.2</span> PROPORCIONALIDAD<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#proporcionalidad" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<p>Dos magnitudes mantienen una proporcionalidad directa si cuando una aumenta la otra también lo hace a igual relación ocurriendo lo mismo si se reduce una de ellas. A modo de ejemplo, si una se divide a la mitad, la otra también. Se dice que dos magnitudes <span class="math inline">\(x\)</span> e <em>y</em> mantienen una proporcionalidad directa si hay una constante <em>a</em>, llamada <strong>constante de proporcionalidad</strong> tal que <span class="math inline">\(y = ax\)</span>.</p>
<div id="regla-de-tres" class="section level3 hasAnchor" number="16.2.1">
<h3><span class="header-section-number">16.2.1</span> Regla de tres<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#regla-de-tres" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>La regla de tres es un método utilizado para resolver problemas de proporcionalidad. Se utiliza para hallar el cuarto término de una proporción. Se basará la explicación del método con un ejemplo.</p>
<div id="ejemplo-5" class="section level4 unnumbered hasAnchor">
<h4>Ejemplo:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ejemplo-5" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Sabiendo que una guitarra tiene 6 cuerdas, determinar cuántas cuerdas necesito si quiero cambiar completamente el encordado de 17 guitarras.</p>
<p><em>Solución</em>
Para resolver este problema, se debe plantear la regla de tres simple. Para eso, se disponen los datos en forma de tabla, teniendo en cuenta que en una misma columna se deben disponer datos de un mismo tipo (en el ejemplo, una columna lleva los datos de las guitarras y la otra las cuerdas). El valor a hallar se representará con una <span class="math inline">\(x\)</span> que simboliza la incógnita.</p>
<table>
<thead>
<tr class="header">
<th align="center">Guitarras</th>
<th align="center">Cuerdas</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td align="center">1</td>
<td align="center">6</td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center">17</td>
<td align="center"><span class="math inline">\(x\)</span></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Para hallar el valor de <span class="math inline">\(x\)</span>, se realiza la siguiente operación:
<span class="math inline">\(x = \frac{17 . 6}{1} = 102\)</span></p>
<p>Generalizando entonces, la regla de tres se plantea de la siguiente forma:</p>
<table>
<tbody>
<tr class="odd">
<td><span class="math inline">\(a_1\)</span></td>
<td><span class="math inline">\(b_1\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td><span class="math inline">\(a_2\)</span></td>
<td><span class="math inline">\(x\)</span></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p><span class="math inline">\(\Rightarrow x=\frac{a_2 b_1}{a_1}\)</span></p>
<p>donde <span class="math inline">\(a_1\)</span> y <span class="math inline">\(a_2\)</span> son del mismo tipo y las magnitudes <em>a</em> y <em>b</em> son directamente proporcionales.</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="cifras-significativas-y-redondeo" class="section level2 hasAnchor" number="16.3">
<h2><span class="header-section-number">16.3</span> CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y REDONDEO<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#cifras-significativas-y-redondeo" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<p>Las cifras significativas son los números que se obtienen al realizar una medición. Se encuentran limitados por el instrumento de medición. Las cifras significativas ciertas son las que se pueden observar directamente del instrumento de medición, mientras que las dudosas son las que se estiman. Una medida no puede tener más de una cifra significativa dudosa.</p>
<p>Por ejemplo, si se tiene una balanza con aguja cuyas divisiones son de un kilogramo y la aguja marca entre los 75 y 76 kg, la medida deberá ser expresada con un solo decimal (75,5 kg a modo de ejemplo).</p>
<p>Los ceros a la izquierda del valor no serán considerados como cifras significativas.</p>
<p>Para reducir la cantidad de cifras utilizadas para expresar una medida y que quede con el número correcto de cifras significativas se debe redondear, siguiendo las siguientes reglas:
1) Si el número a eliminar es menor a 5, la cifra a su izquierda no se modifica.
2) Si el número a eliminar es mayor o igual a 5, la cifra a su izquierda incrementa en uno.</p>
<div id="ejemplo-6" class="section level5 unnumbered hasAnchor">
<h5>Ejemplo:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ejemplo-6" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h5>
<p>Se tiene el número 3,4581 para redondearlo a distinta cantidad de cifras significativas como se muestra en la siguiente tabla:</p>
<table>
<thead>
<tr class="header">
<th align="center">Num. Cifras significativas</th>
<th align="center">Resultado</th>
<th align="center">Regla utilizada</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td align="center">1</td>
<td align="center">3</td>
<td align="center">Regla 1</td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center">2</td>
<td align="center">3,5</td>
<td align="center">Regla 2</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="center">3</td>
<td align="center">3,46</td>
<td align="center">Regla 2</td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center">4</td>
<td align="center">3,458</td>
<td align="center">Regla 1</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<div id="operaciones-con-cifras-significativas" class="section level3 hasAnchor" number="16.3.1">
<h3><span class="header-section-number">16.3.1</span> Operaciones con cifras significativas<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#operaciones-con-cifras-significativas" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Al operar con resultados de mediciones, es importante tener en cuenta las cifras significativas dado que los resultados no pueden tener mayor precisión que las medidas originales. Dependiendo de la operación a realizar, se siguen distintas reglas.</p>
<div id="suma-y-resta" class="section level4 hasAnchor" number="16.3.1.1">
<h4><span class="header-section-number">16.3.1.1</span> Suma y Resta<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#suma-y-resta" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Para el caso de la suma y la resta, lo primero que se debe hacer es redondear todas las medidas involucradas en la operación hasta que tengan igual cantidad de decimales que aquel número con menos decimales. Luego se realiza la operación buscando mantener la misma cantidad de decimales que los números a sumar (o restar).</p>
<div id="ejemplo-7" class="section level5 unnumbered hasAnchor">
<h5>Ejemplo:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ejemplo-7" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h5>
<p>Se quiere sumar las siguientes masas: 21,34 kg, 5,3 kg y 9,37 kg.
Primero se redondeará todas las medidas para que queden expresadas con un decimal.</p>
<table>
<thead>
<tr class="header">
<th align="center">Medida</th>
<th align="center">Redondeo</th>
<th align="center">Regla utilizada</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td align="center">21,34 kg</td>
<td align="center">21,3 kg</td>
<td align="center">Regla 1</td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center">5,3 kg</td>
<td align="center">5,3 kg</td>
<td align="center">No se redondea</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="center">9,37 kg</td>
<td align="center">9,4 kg</td>
<td align="center">Regla 2</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Hechos todos los redondeos pertinentes, se procede a sumar:
<span class="math display">\[\begin{equation}
21,3 kg + 5,3 kg + 9,4 kg = 36,0 kg.
\end{equation}\]</span></p>
</div>
</div>
</div>
<div id="producto-y-división" class="section level3 hasAnchor" number="16.3.2">
<h3><span class="header-section-number">16.3.2</span> Producto y División<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#producto-y-división" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Para el producto y la división, se realiza primero la operación para luego redondear el resultado hasta que tenga la misma cantidad de cifras significativas que las medidas utilizadas.</p>
<div id="ejemplo-8" class="section level5 unnumbered hasAnchor">
<h5>Ejemplo:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ejemplo-8" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h5>
<p>Se quiere calcular la fuerza sobre un elento de masa 9,1 kg que tiene una asceleración de 3,12 <span class="math inline">\(m/s^2\)</span>. Primero se realiza la operación:
<span class="math display">\[
3,12 \: m/s^2 \: \cdot \: 9,1 kg = 28,392 \: N.
\]</span></p>
<p>Luego se debe redondear el resultado hasta obtener la misma cantidad de cifras significativas que el operando con menos cifras significativas. En este caso, es 9,1 que tiene dos, por lo que el resultado se expresa: 28 N (utilizando la regla 1 de redondeo).</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="notación-científica" class="section level2 hasAnchor" number="16.4">
<h2><span class="header-section-number">16.4</span> NOTACIÓN CIENTÍFICA<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#notación-científica" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<p>La notación científica se utiliza para expresar medidas en potencias de base 10, con especial utilidad para expresar medidas muy grandes o muy chicas. El formato para expresar un número en notación científica es el siguiente:
<span class="math display">\[A x 10^{n}\]</span>
donde A es un número entre 1 y <span class="math inline">\(n\)</span> indica la cantidad de veces que se debe correr la coma decimal de un número para obtener el valor de A. Si <span class="math inline">\(n\)</span> es positivo, el resultado es un número mayor a 1 (por ejemplo, con <span class="math inline">\(n=3\)</span> se deben agregar 3 ceros a A). En cambio, si <span class="math inline">\(n\)</span> es negativo, el resultado es un número menor a 1, corriendo la coma <span class="math inline">\(n\)</span> lugares a la izquierda.</p>
<div id="ejemplos" class="section level5 unnumbered hasAnchor">
<h5>Ejemplos:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ejemplos" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h5>
<table>
<thead>
<tr class="header">
<th align="center">Notación decimal</th>
<th align="center">Notación científica</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td align="center">0,03</td>
<td align="center">3x10^{-2}</td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center">6000</td>
<td align="center">6x10^{3}</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
</div>
<div id="ecuaciones" class="section level2 hasAnchor" number="16.5">
<h2><span class="header-section-number">16.5</span> ECUACIONES<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ecuaciones" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<p>Las ecuaciones son expresiones que se utilizan para modelar diversas situaciones y problemas. Se definen como una igualdad entre dos expresiones conteniendo uno (ecuación de una variable) o más (ecuación en varias variables) valores desconocidos. A los valores desconocidos se los denomina <strong>incógnitas</strong> y suele representarse con la letra <span class="math inline">\(x\)</span>.</p>
<p>Se le llama <strong>solución</strong> de la ecuación a todo número que haga que se cumpla la igualdad. Puede existir una única solución, múltiples soluciones o ninguna. Cuando una ecuación es utilizada para modelar un escenario concreto y tiene más de una solución, deberán elegirse las soluciones que tengan sentido en el contexto del problema (descargando el resto).</p>
<p>Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. La clave para resolver una ecuación es reducirla hasta la ecuación equivalente más simple utilizando la <strong>propiedad uniforme</strong>. Esta establece que “si se realiza la misma operación con el mismo número a los dos lados de la igualdad, se mantiene la igualdad”. Coloquialmente, esto implica que se pueden “pasar” números de un lado a otro de la ecuación realizando la operación opuesta (si está sumando de un lado, al otro pasa restando). Se utiliza la propiedad hasta tener “despejada” la incógnita, que implica que las incógnitas quedan de un lado de la ecuación.</p>
<div id="ecuaciones-polinómicas" class="section level3 hasAnchor" number="16.5.1">
<h3><span class="header-section-number">16.5.1</span> Ecuaciones polinómicas<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ecuaciones-polinómicas" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Una ecuación es de grado <em>n</em> si es de la forma <span class="math inline">\(ax^{n} + bx^{n-1} + ... + cx + d = 0\)</span> con <span class="math inline">\(a \neq 0\)</span>. Este polinomio, de tener solución, tendrá como máximo <em>n</em> soluciones. En particular, a continuación se explica como hallar las soluciones de una <em>ecuación cuadrática</em> (ecuación de segundo grado, <span class="math inline">\(n = 2\)</span>) que es de la siguiente forma <span class="math display">\[ax^{2} + bx + c = 0.\]</span></p>
<p>Existen tres escenarios posibles:
1) <span class="math inline">\(b\)</span> es igual a cero.
La ecuación es de la forma <span class="math inline">\(ax^{2} + c = 0\)</span> y se resuelve como si fuera una ecuación con una sola incógnita recordando que la operación opuesta a la potencia es la raíz. En ese caso, <span class="math inline">\(x = \pm \sqrt{\frac{-c}{a}}\)</span>. Es importante notar que si <span class="math inline">\(\frac{-c}{a}\)</span> es un número menor a cero, la ecuación no tiene solución.
2) <span class="math inline">\(c\)</span> es igual a cero.
La ecuación es de la forma <span class="math inline">\(ax^{2} + bx = 0\)</span>. Se saca x de factor común, por lo que <span class="math inline">\(x = 0\)</span> es una de las soluciones del problema. la otra se halla con el método explicado anteriormente, llegando a qué <span class="math inline">\(x = \frac{-b}{a}\)</span>.
3) Todos los coeficientes son no nulos.
La ecuación es de la forma <span class="math inline">\(ax^{2} + bx + c = 0\)</span>. Las dos raíces, si existen, se hallan aplicando la fórmula de Bhaskara. Esta fórmula dice lo siguiente:
<span class="math display">\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
\]</span>
Si el término <span class="math inline">\(b^2 - 4ac\)</span> es mayor a cero se puede afirmar que existen soluciones a la ecuación de segundo grado. Si es igual a cero, se tiene una única solución (a la que se le llama <strong>solución doble</strong>). Si es menor a cero, no existen soluciones.</p>
<div id="ejemplos-1" class="section level4 unnumbered hasAnchor">
<h4>Ejemplos:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ejemplos-1" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Se tiene un campo de 35 has distribuidas en 700 mts x 500 mts. Se quiere comprar <span class="math inline">\(x\)</span> mts de largo y <span class="math inline">\(x\)</span> mts de ancho suficientes para extender el terreno a aproximadamente 50 has. ¿Cuánto debe valer <span class="math inline">\(x\)</span>?</p>
<p>Las nuevas medidas del campo serán: <span class="math inline">\((700+x)(500+x)=50 has = 500000 mts^2\)</span>. Primero se calcula el producto de los binomios, donde se obtiene <span class="math inline">\(350e^3 + 1200 x + x^2 = 500e^3\)</span>. Operando, se llega a la siguiente ecuación <span class="math inline">\(-150e^3 + 1200 x + x^2 = 0\)</span>, a la que al ser una ecuación de segundo grado con todos sus coeficientes no nulos, se le aplicará la fórmula de Bhaskara para hallar la solución.</p>
<p><span class="math display">\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} =\]</span>
<span class="math display">\[\frac{-1200 \pm \sqrt{1200^2 - 4(1)(-150e^3)}}{2(1)}=\]</span>
<span class="math display">\[\frac{-1200 \pm \sqrt{20400000}}{2}\]</span></p>
<p>De ahí salen dos soluciones, <span class="math inline">\(x_1 = \frac{-1200 + \sqrt{20400000}}{2} = 114 mts\)</span> y <span class="math inline">\(x_2 = \frac{-1200 - \sqrt{20400000}}{2} = -1314\)</span>. La solución <span class="math inline">\(x_2\)</span> es un número negativo que será descartado debido a que las medidas siempre son números mayores a cero. Por lo tanto, serán necesarios agregar 114 mts de largo y 114 mts de ancho para obtener un campo de aproximadamente 50 has. Para saber la superficie final obtenida, basta con susituir <span class="math inline">\(x_1\)</span> en la ecuación inicial:</p>
<p><span class="math display">\[
\text{Superficie} = (700 + 114)(500 + 114) = 49,98 has.
\]</span></p>
</div>
</div>
</div>
<div id="funciones" class="section level2 hasAnchor" number="16.6">
<h2><span class="header-section-number">16.6</span> FUNCIONES<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#funciones" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<p>Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A un elemento de un conjunto B. Se escribe</p>
<p><span class="math display">\[
\begin{split}
f: A \rightarrow B \\
x \rightarrow f(x)
\end{split}
\]</span></p>
<p>donde lo anterior se lee “<span class="math inline">\(f\)</span> es una función de <span class="math inline">\(A\)</span> a <span class="math inline">\(B\)</span>” donde a cada valor de <span class="math inline">\(x \in A\)</span> se le asigna un valor de <span class="math inline">\(B\)</span> representado por <span class="math inline">\(f(x)\)</span> (que se lee “<span class="math inline">\(f\)</span> de <span class="math inline">\(x\)</span>”). Al conjunto <span class="math inline">\(A\)</span> se lo denomina <strong>dominio</strong> o <strong>conjunto de partida</strong> mientras que a <span class="math inline">\(B\)</span> se le llama <strong>codominio</strong> o <strong>conjunto de llegada</strong>. Se dice que una cantidad <span class="math inline">\(y\)</span> es una función de otra cantidad <span class="math inline">\(x\)</span> si el valor de la primera depende del valor que tome la segunda y se escribe <span class="math inline">\(y=f(x)\)</span>.</p>
<p>Para definir una función, hay dos condiciones que deben cumplirse: <strong>existencia</strong> y <strong>unicidad</strong>. Para cada valor <span class="math inline">\(x\)</span> en el dominio debe existir un único valor <span class="math inline">\(f(x)\)</span> en el codominio que sea imagen de <span class="math inline">\(x\)</span>.</p>
<p>Existen tres formas de representar las funciones: con una ecuación, una tabla o una gráfica. La más utilizada y con la que se trabajará en este libro principalmente es con la ecuación, ya que a partir de ella se puede llegar a las otras dos.</p>
<div id="ceros-de-una-función" class="section level3 hasAnchor" number="16.6.1">
<h3><span class="header-section-number">16.6.1</span> Ceros de una función<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ceros-de-una-función" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Hallar los ceros (también llamados raíces) de una función significa tomar la ecuación que la define e igualarla a cero para hallar aquellas <span class="math inline">\(x\)</span> para las cuales la función vale cero. Matemáticamente, se definen como aquellos <span class="math inline">\(x\)</span> tal que <span class="math inline">\(f(x) = 0\)</span>. Es importante tener en cuenta que no siempre es sencillo (o posible) hallar las raíces de manera analítica, sino que puede ser necesario utilizar métodos numéricos para los cálculos.</p>
<p>El caso más sencillo es el de funciones polinómicas de primer y segundo orden. En esos casos, hallar los ceros implica hallar directamente las raíces del polinomio.</p>
</div>
<div id="tipos-de-funciones" class="section level3 hasAnchor" number="16.6.2">
<h3><span class="header-section-number">16.6.2</span> Tipos de funciones:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#tipos-de-funciones" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<div id="función-polinómica" class="section level4 hasAnchor" number="16.6.2.1">
<h4><span class="header-section-number">16.6.2.1</span> Función polinómica<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#función-polinómica" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Una función polinómica de grado <span class="math inline">\(n\)</span> (dónde <span class="math inline">\(n\in N \cup \{0\}\)</span>) es una función definida por una ecuación polinómica, tal que
<span class="math display">\[f(x) = a_nx^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}\]</span></p>
<p>donde <span class="math inline">\(a_n, \: a_{n-1},..., \: a_1, \: a_0 \in R\)</span> y se denominan coeficientes de la
función polinómica. Una función polinómica tendrá como dominio a todo R.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha">
<li>Polinomios de primer grado</li>
</ol>
<p>Un polinomio de primer grado es una función de forma <span class="math inline">\(f(x)=ax + b\)</span> (también denominado <em>función lineal</em>) donde su representación gráfica será siempre una recta. Al parámetro <span class="math inline">\(a\)</span> se lo denomina <em>pendiente de la recta</em> y marca su verticalidad. Si <span class="math inline">\(a=0\)</span> la representación de la función es una recta horizontal que pasa por el punto <span class="math inline">\(b\)</span>, mientras que si <span class="math inline">\(a\)</span> es un número muy grande, la recta es vertical (establece un ángulo de 90° respecto al eje horizontal). Al parámetro <span class="math inline">\(b\)</span> se lo denomina intercepto y establece a qué altura del eje vertical cortará la recta. Si <span class="math inline">\(b=0\)</span> la recta pasará por el origen. Si es mayor, la recta pasará por encima del origen mientras que si es menor, pasará por debajo.</p>
<p>Las funciones lineales tienen una única raíz, ya que el polinomio tiene tantas raíces como el orden del mismo.</p>
<p>En la figura se muestran tres ejemplos de funciones lineales, donde se puede observar las diferencias que resultan de establecer distintos valores para <span class="math inline">\(a\)</span> y <span class="math inline">\(b\)</span>. Para la función <span class="math inline">\(y=x\)</span> e <span class="math inline">\(y=2x\)</span> el cero de se da en <span class="math inline">\(x=0\)</span>. Para <span class="math inline">\(y=2x+4\)</span> el cero se encuentra en <span class="math inline">\(x=-4\)</span>.</p>
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<ol start="2" style="list-style-type: lower-alpha">
<li>Polinomios de segundo grado</li>
</ol>
<p>Un polinomio de segundo grado es una función de forma <span class="math inline">\(f(x)=ax^2+bx+c\)</span> donde <span class="math inline">\(a \neq 0\)</span>.</p>
<p>Su representación gráfica será siempre una parábola cuyo vértice estará por debajo de la parábola si <span class="math inline">\(a>0\)</span> mientras que para <span class="math inline">\(a<0\)</span> se encontrará por encima de la misma. El vértice se sitúa en el punto <span class="math inline">\(x = −\frac{b}{2a}\)</span>. En la figura se muestran tres ejemplos de parábolas, donde se puede ver qué ocurre con el vértice cuando <span class="math inline">\(a\)</span> toma valores positivos o negativos. También se muestra el efecto que tiene tener distintos valores de <span class="math inline">\(b\)</span> y <span class="math inline">\(c\)</span>. En este caso, se puede ver que cada función tiene dos raíces.</p>
<p>Las funciones polinómicas de segundo orden tienen dos posibles <span class="math inline">\(x\)</span> para cada <span class="math inline">\(f(x)\)</span>. Es importante destacar que esto no se contrapone con la <em>unicidad</em> descrita previamente, que dice que para un valor <span class="math inline">\(x\)</span> solo puede existir un solo <span class="math inline">\(f(x)\)</span>. Para resolución de problemas de la vida real, es importante tener en cuenta que existen dos puntos <span class="math inline">\(x\)</span> preimagen de <span class="math inline">\(f(x)\)</span> ya que dependiendo del campo de aplicación puede ser necesario elegir uno de ellos.</p>
<p>En el ejemplo utilizado para ecuaciones polinómicas, el valor <span class="math inline">\(x\)</span> negativo fue descartado ya que una medida de tierra siempre será positiva. Este tipo de análisis suelen ser muy frecuentes al momento de trabajar con funciones.</p>
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</div>
<div id="función-racional" class="section level4 hasAnchor" number="16.6.2.2">
<h4><span class="header-section-number">16.6.2.2</span> Función racional<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#función-racional" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Una función racional es una función del tipo <span class="math inline">\(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)</span>.</p>
<p>en donde <span class="math inline">\(f\)</span> y <span class="math inline">\(g\)</span> son funciones polinómicas. Podemos definir entonces la función racional como el cociente de dos funciones polinómicas. El dominio de este tipo de funciones será R exceptuando los valores en los que <span class="math inline">\(g(x)\)</span> es nula.</p>
</div>
<div id="función-exponencial" class="section level4 hasAnchor" number="16.6.2.3">
<h4><span class="header-section-number">16.6.2.3</span> Función exponencial<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#función-exponencial" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Una función exponencial es de la forma <span class="math inline">\(f(x)=a^{bx}\)</span>, donde <span class="math inline">\(a\neq 1\)</span> (dado que <span class="math inline">\(1^x=1\)</span>) y <span class="math inline">\(a>0\)</span>. La variable de la función aparece en el exponente. Tiene gran importancia para el modelado de distintos fenómenos, desde económicos hasta fenómenos de la naturaleza (como el crecimiento de una colonia de bacterias).</p>
<p>Estas funciones presentan un crecimiento más rápido en comparación con el de las funciones lineales a medida que <span class="math inline">\(x\)</span> crece, denominándose <strong>crecimiento exponencial</strong>. Además, toman siempre valores positivos para cualquier <span class="math inline">\(x\)</span>.</p>
<p>En la figura se observan tres curvas exponenciales. Hacía la izquierda (cuánto más negativo el eje <span class="math inline">\(x\)</span>) la curva se acerca más a cero. Toma valores más grandes cuánto más grande es <span class="math inline">\(x\)</span>. Además, más grandes son los valores adoptados por la función cuánto mayor es <span class="math inline">\(b\)</span>. En todos los casos, para <span class="math inline">\(x=0\)</span> el valor de la función es <span class="math inline">\(1\)</span>. Estas funciones no tienen ceros, se acercan cuando mayor es el valor absoluto de los <span class="math inline">\(x<0\)</span> pero nunca llegan a igualarlo.</p>
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</div>
<div id="función-logarítmica" class="section level4 hasAnchor" number="16.6.2.4">
<h4><span class="header-section-number">16.6.2.4</span> Función logarítmica<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#función-logarítmica" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>La función logarítmica es aquella en la que la variable aparece en el argumento del logaritmo, por lo que son de la forma <span class="math inline">\(f(x) = log_a x\)</span> con la base <span class="math inline">\(a\neq 1\)</span> y <span class="math inline">\(a>0\)</span>. Teniendo en cuenta que el logaritmo solo existe para números positivos, el dominio de la función deberá pertenecer al conjunto de <span class="math inline">\(R^+\)</span>.</p>
<p>En la figura se muestran tres funciones logarítmicas. Se observa que están definidas únicamente para <span class="math inline">\(x > 0\)</span>.</p>
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</div>
</div>
</div>
<div id="sumatoria-y-productoria" class="section level2 hasAnchor" number="16.7">
<h2><span class="header-section-number">16.7</span> SUMATORIA Y PRODUCTORIA<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#sumatoria-y-productoria" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<p>Se define la <strong>sumatoria</strong> como un operador matemático utilizado para expresar la suma de una gran cantidad de números que sigue una ley general de formación. Se representa con la letra griega <span class="math inline">\(\sum\)</span>. Formalmente, se define como:
<span class="math display">\[\sum_{i=m}^n f(i) = f(m) + f(m+1) + ... + f(n)\]</span></p>
<p>donde <span class="math inline">\(f\)</span> es una función, <span class="math inline">\(i\)</span> es el índice de la sumatoria, <span class="math inline">\(m\)</span> su límite inferior y <span class="math inline">\(n\)</span> el límite superior. Esto significa que el índice tomará valores entre desde <span class="math inline">\(m\)</span> hasta <span class="math inline">\(n\)</span> y se sumarán todos los valores que toma la función al evaluar el índice.</p>
<div id="ejemplos-2" class="section level5 unnumbered hasAnchor">
<h5>Ejemplos:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ejemplos-2" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h5>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li><span class="math display">\[\sum_{i = 2}^5 i = 2 + 3 + 4 + 5 = 14\]</span></li>
<li><span class="math display">\[\sum_{i = 2}^5 i^2 = 4 + 9 + 16 + 25 = 54\]</span></li>
<li><span class="math display">\[\sum_{i = 1}^4 2(i+8) = 18 + 20 + 22 + 24 = 84\]</span></li>
<li><span class="math display">\[\sum_{i = 0}^7 2^i = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255\]</span></li>
</ol>
<p>La <strong>productoria</strong> es el análogo a la sumatoria pero para representar el producto de una gran cantidad de números que siguen una ley general de formación. En este caso, se utiliza la letra griega <span class="math inline">\(\prod\)</span> para su representación.</p>
</div>
<div id="ejemplos-3" class="section level5 unnumbered hasAnchor">
<h5>Ejemplos:<a href="apéndice-i-conceptos-matemáticos-básicos.html#ejemplos-3" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h5>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li><span class="math display">\[\prod_{i = 2}^5 i = 2 . 3 . 4 . 5 = 120\]</span></li>
<li><span class="math display">\[\prod_{i = 0}^3 2^i = 1 . 2 . 4 . 8 = 64\]</span></li>
</ol>
</div>
</div>
</div>
</section>
</div>
</div>
</div>
<a href="GxE.html" class="navigation navigation-prev " aria-label="Previous page"><i class="fa fa-angle-left"></i></a>
<a href="apéndice-ii-cálculo-diferencial-e-integral.html" class="navigation navigation-next " aria-label="Next page"><i class="fa fa-angle-right"></i></a>
</div>
</div>
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