diff --git a/README.md b/README.md index 3b2252f..31ecfc3 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -1,4 +1,4 @@ -# Конспект по Математическому Анализу на курсе МКН СП за второй семестр первого курса +# Конспект по Математическому Анализу на курсе МКН СП за первый семестр второго курса ## Основные правила оформления билетов * Перечисление каких-либо пунктов организовывать через **itemize** или **enumerate** ```tex diff --git a/lectures/lecture01.tex b/lectures/lecture01.tex index 5270034..3fd6961 100644 --- a/lectures/lecture01.tex +++ b/lectures/lecture01.tex @@ -160,9 +160,9 @@ \section{Системы множеств} \begin{lemma} $A_n \subset X$. Тогда: \begin{gather*} - \bigcup\limits_{k=1}^n A_k = \bigsqcup\limits_{k=1}^n A_k \setminus \bigcup\limits_{i=1}^{k-1} A_i \\ + \bigcup\limits_{k=1}^n A_k = \bigsqcup\limits_{k=1}^n \left( A_k \setminus \bigcup\limits_{i=1}^{k-1} A_i \right) \\ \text{и аналогично для счетного множества} \\ - \bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k = \bigsqcup\limits_{k=1}^\infty A_k \setminus \bigcup\limits_{i=1}^{k-1} A_i + \bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k = \bigsqcup\limits_{k=1}^\infty \left( A_k \setminus \bigcup\limits_{i=1}^{k-1} A_i \right) \end{gather*} \end{lemma} @@ -189,3 +189,247 @@ \section{Системы множеств} То есть какой бы мы ни взяли элемент в левой части, он обязан будет лежать в правой. \end{enumerate} \end{proof} + +\begin{theorem} + $\PP$ -- полукольцо. Тогда $P_1, P_2, \dots, P_n \in \PP$ и: + \begin{enumerate} + \item $P\setminus \bigcup\limits_{k=1}^n P_k = \bigsqcup\limits_{j=1}^m Q_j$ для некоторых $Q_1, \dots, Q_m \in \PP$ + \item $\bigcup\limits_{k=1}^n P_k = \bigsqcup\limits_{k=1}^n \bigsqcup\limits_{j=1}^{m_k} Q_{k_j}$, где $Q_{k_j} \in \PP$ и $Q_{k_j} \subset P_k$ + \item $\bigcup\limits_{k=1}^\infty P_k = \bigsqcup\limits_{k=1}^\infty \bigsqcup\limits_{j=1}^{m_k} Q_{k_j}$, где $Q_{k_j} \in \PP$ и $Q_{k_j} \subset P_k$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} \quad + + \begin{enumerate} + \item Будем доказывать по индукции. База: $n=1$ -- определение полукольца. Переход $n \longrightarrow n+1$: + \begin{gather*} + P \setminus \bigcup\limits_{k=1}^{n+1} P_k = \left( P \setminus \bigcup\limits_{k=1}^n P_k\right) \setminus P_{n+1} \xlongequal{\text{инд. предп.}} \left( \bigsqcup\limits_{j=1}^m Q_j \right) \setminus P_{n+1} = \stackbelow{\underbrace{\bigsqcup\limits_{j=1}^m Q_j \setminus P_{n+1}}}{\oast} + \end{gather*} + $\oast = \bigsqcup\limits_{i=1}^{m_j} R_{j_i}$ по определению полукольца. + \item Доказывается сугубо применением леммы: + \begin{gather*} + \bigcup\limits_{k=1}^n P_k \xlongequal{\text{лемма}} \bigsqcup\limits_{k=1}^n \underset{\displaystyle\overset{\qquad\quad\;\;\displaystyle\parallel{\text{по п. 1}}}{\bigsqcup\limits_{i=1}^{m_k} Q_{k_i}}}{\underbrace{\left( P_k \setminus \bigcup\limits_{i=1}^{k-1} A_i \right)}} + = \bigsqcup\limits_{k=1}^n \bigsqcup\limits_{i=1}^{m_k} Q_{k_i} + \end{gather*} + \item То же самое, что и пункт 2, только не до $n$, а до $\infty$ + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{conj} + $\A \subset 2^X, \B \subset 2^Y$. Зададим \textbf{декартово произведение} семейств множеств: + \begin{gather*} + \A \times \B = \{ \subsetbelow{A \times B}{X \times Y} : A \in \A, B \in \B \} \subset 2^{X \times Y} + \end{gather*} +\end{conj} + +\begin{theorem} + Декартово произведение полуколец -- полукольцо. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $\A$ и $\B$ -- полукольца. Будем проверять аксиомы полукольца у их декартова произведения: + \begin{enumerate} + \item $\varnothing \times \varnothing = \varnothing \in \A \times \B$ -- пустой есть + \item Возьмем $A \times B \in \A \times \B$ и $A' \times B' \in \A \times \B$ + \begin{center} + \begin{tikzpicture} + \node[box1, fill=red, fill opacity=0.08] (c2) at (0,0) {}; + \node[box2, fill=blue, fill opacity=0.08] (c1) at (1.5,1.5) {}; + \draw[pattern={Lines[angle=-45,distance={3pt/sqrt(2)}]}, pattern color=blue] (0,0.5) rectangle (1.25,1.25); + \node[] (A) at (0,-1.6) {$A$}; + \node[] (B) at (-1.6,0) {$B$}; + \node[] (A1) at (1.6,0.2) {$A'$}; + \node[] (B1) at (-0.3,1.6) {$B'$}; + \end{tikzpicture} + \end{center} + Тогда: + \begin{gather*} + (A \times B) \cap (A' \times B') = \inbelow{(A \cap A')}{\A} \times \inbelow{(B \cap B')}{\B} \subset \A \times \B + \end{gather*} + Все четенько + \item Осталось проверить последний пункт: + \begin{center} + \begin{tikzpicture} + \node[box1, fill=white, fill opacity=0.08] (c2) at (0,0) {}; + \draw[pattern={Lines[angle=-45,distance={3pt/sqrt(2)}]}, pattern color=blue] (-1.25,-1.25) rectangle (1.25,1.25); + \node[box2, fill=white, fill opacity=1] (c1) at (1.5,1.5) {}; + \node[box3, fill=white, fill opacity=0.08] (c2) at (0,0) {}; + \node[] (A) at (0,-1.6) {$A$}; + \node[] (B) at (-1.6,0) {$B$}; + \node[] (A1) at (1.6,0.2) {$A'$}; + \node[] (B1) at (-0.3,1.6) {$B'$}; + \end{tikzpicture} + \end{center} + \end{enumerate} + \begin{gather*} + (A \times B) \setminus (A' \times B') = A \times (B \setminus B') \sqcup (A \setminus A') \times (B \cap B') + \end{gather*} + Сверяемся с картинкой, понимаем, что звучит как правда. Теперь: + \begin{gather*} + \stackbelow{\underbrace{A \times \stackbelow{\underbrace{(B \setminus B')}}{\bigsqcup\limits_{j=1}^n Q_j}}}{\bigsqcup\limits_{j=1}^n A \times Q_i} \sqcup \stackbelow{\underbrace{\stackbelow{\underbrace{(A \setminus A')}}{\bigsqcup\limits_{i=1}^n P_i} \times (B \cap B')}}{\bigsqcup\limits_{i=1}^m \bigsqcup\limits_{j=1}^n P_i \times (B \cap B')} + \end{gather*} + Ну и вуаля. Вышло что-то дикое, но мы представили наше выражение в виде квадратного объединения кучи частей, как мы и хотели. +\end{proof} + +\begin{conj} + Пусть $a, b \in \R^n$. Определим \textbf{замкнутый параллелипипед} следующим образом: + \begin{gather*} + [a, b] = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times \dots \times [a_n, b_n] + \end{gather*} + \textbf{Открытый параллелипипед} следующим образом: + \begin{gather*} + (a, b) = (a_1, b_1) \times (a_2, b_2) \times \dots \times (a_n, b_n) + \end{gather*} + А \textbf{ячейку} следующим образом: + \begin{gather*} + [a, b) = [a_1, b_1) \times [a_2, b_2) \times \dots \times [a_n, b_n) + \end{gather*} +\end{conj} + +\begin{theorem} + Непустая ячейка -- это: + \begin{enumerate} + \item обьединение возрастающей последовательности замкнутых параллелипипедов + \item пересечение убывающей последовательности открытых параллелипипедов + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} \quad + \begin{center} + \begin{tikzpicture} + \node[] (1) at (-1,1.5) {$1.$}; + \node[box4, fill=red, fill opacity=0.1] (c1) at (1.5,1.5) {}; + \node[box2, fill=white, fill opacity=1] (c1) at (1.43,1.43) {}; + + \node[] (2) at (5.5,1.5) {$2.$}; + \node[box4, fill=blue, fill opacity=0.1] (c1) at (8,1.5) {}; + \node[box2, fill=white, fill opacity=1] (c1) at (8.07,1.57) {}; + \end{tikzpicture} + \end{center} + \begin{align*} + [a, b) &= \bigcup\limits_{m=1}^\infty [a, b^{(m)}] & b^{(m)} &= \left( b_1 - \frac{1}{m}, b_2 - \frac{1}{m}, \dots, b_n - \frac{1}{m} \right) \\ + [a, b) &= \bigcap\limits_{m=1}^\infty [a^{(m)}, b] & a^{(m)} &= \left( a_1 - \frac{1}{m}, a_2 - \frac{1}{m}, \dots, a_n - \frac{1}{m} \right) + \end{align*} +\end{proof} + +\underline{Обозначение}: $\PP^n$ -- \textbf{полукольцо ячеек} в $\R^n$. А $\PP^n_{\Q}$ -- \textbf{полукольцо ячеек} с рациональными координатами в $\R^n$. + +\underline{Утверждение}: Это действительно полукольцо. + +\begin{proof} + Следует из предыдущей теоремы про декартово произведение. +\end{proof} + +\begin{theorem} + Всякое непустое открытое множество $G \in \R^n$ -- это счетное дизъюнктивное + объединение ячеек. Более того, можно считать, что $\Cl$ ячеек $\subset G$ и можно считать, что ячейки с рациональными координаты. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Возьмем $x \in G$. + + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[square/.style={draw=black, thick, rectangle, minimum height=0.95cm, minimum width=0.95cm}, + dashedsquare/.style={draw=black, dashed, rectangle, minimum height=0.8cm, minimum width=0.8cm}] + \draw[thick, -, rounded corners=2mm] (0,0) \irregularcircle{2cm}{2mm}; + \draw[thick] (0,-1) circle(0.7); + \fill[thick, black] (0,-1) circle(0.07) node[below right]{x}; + \node[square, fill=white, fill opacity=0] (c1) at (0,-1) {}; + \node[dashedsquare, fill=white, fill opacity=0] (c1) at (0,-1) {}; + \draw[white, thick, dashed] (-0.45, -0.525) -- (0.45, -0.525); + \draw[white, thick, dashed] (0.474, -0.57) -- (0.474, -1.46); + \end{tikzpicture} + \end{center} + Возьмем замкнутый шарик $\overline{B_r}(x) \subset G$. Впишем в шарик кубик и получим ячейку. немного отъедем внутрь и получим ячейку + $P_x$ с рациональными координатами, если они вдруг вышли иррациональными. Теперь: + \begin{gather*} + x \in P_x \subset \overline{B_r}(x) \subset G \Longrightarrow x \in \Cl P_x \subset \overline{B_r}(x) \subset G + \end{gather*} + Итак если мы возьмем объединение ячеек по всем $x$ из $G$, мы получим $G$, то есть $\bigcup\limits_{x \in G} P_x = G$. Проверим это: + \begin{itemize} + \item[``$\subset$'':] Очевидно, так как $P_x \in G$ + \item[``$\supset$'':] Очевидно, так как $\forall x \in G$, $x$ пренадлежит некоторому $P_x$ + \end{itemize} + Чтобы сделать объединение дизъюнктивным воспользуемся уже доказанной теоремой. + + Остается проблема только со счетностью. Ячейки параметризуются кортежами из рациональных координат. Различных таких + координат счетное количество. Выкинем из множества повторы и оно станет счетным. +\end{proof} + +\follow +\begin{gather*} + \B (\PP^n) = \B (\PP_\Q^n) = \B^n +\end{gather*} + +\begin{proof} + Последовательно докажем включения + \begin{enumerate} + \item $\B (\PP^n) \supset \B (\PP_\Q^n)$: + \begin{gather*} + \PP^n \supset \PP^n_\Q \Longrightarrow \B (\PP^n) \supset \B (\PP_\Q^n) + \end{gather*} + \item $\B (\PP_\Q^n) \supset \B^n$: + $\B(\PP_\Q^n)$ содержит все открытые множества (по теореме) $\Longrightarrow \B(\PP_\Q^n)$ содержит наименьшую $\sigma$-алгебру, натянутую на открытые множества, то есть содержит $\B^n$ + \item $\B^n \supset \B (\PP^n)$: $\B^n \supset \PP^n$: ячейка -- пересечение открытых параллелограммов + \end{enumerate} + \mybox[orange!15]{Сам не понял, что я тут написал в пруфе третьего включения. В тетради неразборчиво. Если забуду поправить, поправьте кто-нибудь.} +\end{proof} + +\section{Объем и мера} + +\begin{conj} + $\PP$ -- полукольцо подмножеств $X$. И задана: + \begin{gather*} + \mu : \PP \longrightarrow [0, +\infty] + \end{gather*} + Тогда $\mu$ -- \textbf{объем}, если: + \begin{enumerate} + \item $\mu \varnothing = 0$ + \item Если $A_1, \dots, A_n \in \PP$ и $\bigsqcup\limits_{k=1}^n A_k \in \PP$, то: + \begin{gather*} + \mu \left( \bigsqcup\limits_{k=1}^n A_k \right) = \sum\limits_{k=1}^n \mu A_k + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{conj} + +\begin{conj} + $\mu$ -- \textbf{мера}, если: + \begin{enumerate} + \item $\mu \varnothing = 0$ + \item Если $A_1, A_2, \dots \in \PP$ и $\bigsqcup\limits_{k=1}^\infty A_k \in \PP$, то: + \begin{gather*} + \mu \left( \bigsqcup\limits_{k=1}^\infty A_k \right) = \sum\limits_{k=1}^\infty \mu A_k + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{conj} + +\underline{Упражнение}: Доказать, что если $\mu \not\equiv +\infty$, то из $(2)$ следует $(1)$. + +\textbf{Примеры:} +\begin{enumerate} + \item Длина на полуинтервале в $\R$ + \item $g : \R \longrightarrow \R$ монотонно возрастает. При $a \leqslant b$: + \begin{gather*} + \nu_g [a, b) := g(b) - g(a) \qquad \text{ на полуинтевалах в } \R + \end{gather*} + \item \begin{align*} + \lambda_n &: \PP^n \longrightarrow [0, +\infty) \\ + \lambda_n[a, b) &:= (b_1 - a_1)(b_2 - a_2) \dots (b_n - a_n) \\ + \lambda_n \varnothing &:= 0 + \end{align*} + \item $x_0 \in X, a > 0$ + \begin{gather*} + \mu A := \begin{cases} + 0 \text{, если } x_0 \not \in A \\ + a \text{, если } x_0 \in A + \end{cases} + \end{gather*} + Это объем + \item Все ограниченные множества в $\R^n$ и их дополнения: + \begin{gather*} + \mu (\text{огр. множества}) = 0 \\ + \mu (\text{неогр. множества}) = 1 + \end{gather*} + Это объем, но не мера +\end{enumerate} \ No newline at end of file