01-Notations.tex

\chapter*{NOTATIONS}
%
\label{chap:notations}


\section*{Ensembles}
\begin{itemize}
    \item $\bb{N}$ : l'ensemble des entiers naturels, $\bb{N} = \{1, 2, 3, \ldots \}$.
    \item $\R$ : l'ensemble des nombres réels.
    \item $\bb{C}$ : l'ensemble des nombres complexes.
    \item $\R^d$ (resp. $\mathbb{C}^d$) : l'ensemble des vecteurs réels (resp. complexes) de dimension $d$.
    \item $\R^{m \times n}$ (resp. $\bb{C}^{m \times n}$) : l'ensemble des matrices réelles (resp. complexes) de dimension $m$ par $n$.
 \end{itemize}
 
 \section*{Fonctions}
 \begin{itemize}
    \item $\lfloor x \rfloor$ : le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.
     \item $\Re(z)$ : la partie réelle d'un nombre complexe $z \in \bb{C}$.
     \item $\Im(z)$ : la partie imaginaire d'un nombre complexe $z \in \bb{C}$.
 \end{itemize}
 
 \section*{Vecteurs, matrices}
 
 Dans tout le document, les caractères gras minuscules ($\bf{e, u, \ldots}$) désignent des vecteurs et les caractères gras majuscules ($\bf{A, M, X, \ldots}$) désignent des matrices.
 
 \begin{itemize}
    \item $\bf{I_d}$ : la matrice identité de dimension $d \times d$.
    \item $\bf{o_d}$ : le vecteur nul de dimension $d$.
    \item $\bf{0_{d \times d}}$ : la matrice nulle de dimension $d \times d$.
    \item $\bf{M}^\top$ : la transposée de la matrice $\bf{M}$.
    \item $\compconj{\bf{M}}$ : la matrice conjuguée d'une matrice complexe $\bf{M}$.
    \item $\diag(d_1, d_2, \ldots, d_k)$ : la matrice diagonale de dimension $k \times k$, dont la $i$-ème coordonnée diagonale vaut $d_i$.
\end{itemize}

Pour deux vecteurs $\bf{u, v} \in \R^n$, on utilisera le produit scalaire usuel sur $\R^n$ :
\begin{equation}
    \bf{u \cdot v} = \sum_{i=1}^{n} \bf{u_i \times v_i}
\end{equation}

Ce produit scalaire définie une norme, appelée norme euclidienne, pour tout vecteur $\bf{u} \in \R^n$ :
\begin{equation}
    \| \bf{u} \|_2 = \sqrt{\bf{u \cdot u}} = \sqrt{\sum_{i =1}^{n} u_i^2}
\end{equation}

La norme euclidienne définit à son tour une distance, la \textit{distance euclidienne}, qui vaut, pour $\bf{u, v} \in \R^n$ :
\begin{equation}
        d_\text{euc}(\bf{u, v}) = \| \bf{u - v} \|_2 = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (\bf{u_i - v_i})^2}
\end{equation}
La distance cosinus, qui n'est pas une distance mathématique mais plutôt une mesure de dissimilarité, est définie sur $\R^n$ par :
\begin{equation}
    d_\text{cos}(\bf{u, v}) = 1 - \frac{\bf{u \cdot v}}{\| \bf{u} \|_2 \times \| \bf{v} \|_2 }
\end{equation}

La norme de Frobenius est définie pour toute matrice réelle ou complexe de dimension  de $m \times n$ par :
\begin{equation}
\| \bf{M} \|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} |M_{i, j}|^2}
\end{equation}

\section*{Graphes de connaissances}

\begin{itemize}
    \item $\Ent(G)$ : l'ensembles des entités (ou \textit{sommets}) d'un graphe $G$.
    \item $\Rel(G)$ : l'ensemble des relations (ou \textit{arêtes}) d'un graphe $G$.
    \item $\rel{h}{r}{t}$ : la propriété «$h$ est lié à $t$ par la relation $r$».
\end{itemize}