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# Teorema de Bayes

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## Fórmula

$$ 
P(B_{i} | A) = \frac{P(B_{i} \cap A)}{P(A)} 
$$

Exemplo:

Sendo tirada 1 bola vermelha, qual a probabilidade de esta bola ter sido retirada da caixa 1?

| Caixa | Vermelhas | Azuis |
|-------|-----------|-------|
| 1     | 4         | 4     |
| 2     | 2         | 6     |

As probabilidades "básicas" são:

$$
P(B_{1}) = P(Caixa 1) = 1/2
$$ $$
P(B_{2}) = P(Caixa 2) = 1/2
$$ $$
P(A|B_{1}) = P(Vermelha | Caixa 1) = 4/8
$$ $$
P(A|B_{2}) = P(Vermelha | Caixa 2) = 2/8
$$

A probabilidade de que uma bola vermelha tenha sido retirada da caixa 1 é dada por:

$$
P(Caixa 1 | Vermelha) = \frac{P(B_{1}) . P(A|B_{1})}{P(A)}
$$

O numerador da equação é:

$$
P(B_{1}) . P(A|B_{1}) = P(Caixa_{1}) . P(Vermelha | Caixa_{1})
$$

$$
P(Caixa_{1}) . P(Vermelha | Caixa_{1}) = \frac{1}{2} . \frac{4}{8}
$$

O denominador da equação é:

$$
P(A) = P(Vermelha) =  P(Caixa 2) . P(Vermelha | Caixa 1) + P(Caixa 2) . P(Vermelha | Caixa 2)
$$

$$
P(Vermelha) = \frac{1}{2} . \frac{4}{8} + \frac{1}{2} . \frac{2}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} =  \frac{3}{8} = 0.375
$$

$$
P(Caixa 1 | Vermelha) = \frac{\frac{1}{2} . \frac{4}{8}}{\frac{1}{2} . \frac{4}{8} + \frac{1}{2} . \frac{2}{8}}
$$ Portanto, a probabilidade é de:

$$
P(Caixa 1 | Vermelha) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{8}} = \frac{1}{4}.\frac{8}{3} = \frac{8}{12} = 0.66666...
$$

Abaixo exemplo do mesmo cálculo executado em R.

```{r}

p_cx1 <- 1/2
p_cx2 <- 1/2
p_vermelha_cx1 <- 4/8
p_vermelha_cx2 <- 2/8

p_vermelha <- p_cx1 * p_vermelha_cx1 + p_cx2 * p_vermelha_cx2  

(p_cx1 * p_vermelha_cx1)/p_vermelha
```

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@favero_2017

Última atualização: `r format(file.info('est_bayes.qmd')$mtime, '%d/%m/%Y - %H:%M:%S')`