Neste trabalho não será utilizado o CEM para a comparação direta entre grupos de tratados e de controle, mas sim, para melhorar o desempenho de outro método ao escolher mais adequadamente, com menos desequilíbrio, as observações a serem pareadas.
Hainmueller (2012HAINMUELLER J. Entropy Balancing for Causal Effects: A Multivariate Reweighting Method to Produce Balanced Samples in Observational Studies. Political Analysis, v. 20 n. 1, p. 25-46, 2012.) desenvolveu um método multivariado que permite ponderar um conjunto de dados, tais que, as distribuições das variáveis nas observações reponderadas satisfaçam um conjunto de condições especiais de momentos, de forma que exista equilíbrio exato sobre o primeiro, segundo, e possivelmente maiores momentos das distribuições de variáveis independentes nos grupos de tratamento e controle. Esse método permite que o pesquisador especifique um nível de equilíbrio desejável para as covariadas usando um conjunto de condições associadas aos momentos da distribuição.
-Considere uma amostra com n1, observações pertencentes ao grupo dos tratados, e n0 unidades de controle, os quais foram selecionados aleatoriamente de uma população de tamanho N1 e N0 respectivamente \( {{n}_{1}}\le {{N}_{1}}~e~{{n}_{0}}\le {{N}_{0}}~ \). Seja \( {{D}_{i}}\in \left\{ 1,0 \right\} \) uma variável de tratamento binária, em que irá assumir o valor igual a 1 se a unidade i pertencer ao tratamento e 0 se pertencer ao grupo de controle. Seja X uma matriz que contém as observações de J variáveis exógenas de pré-tratamento; Xij corresponde o valor da j-ésima covariada da unidade i, tais que, Xi = (Xi1,Xi2,...,Xij), refere-se ao vetor de características da unidade i, e Xj refere-se ao vetor coluna com j-th covariada. A densidade das covariadas nas populações de tratamento e controle são dadas por \( {{f}_{X|D=1}}~e~{{f}_{X|D=0}} \) respectivamente. O resultado potencial Yi(Di) corresponde ao par de resultados para a unidade i dadas as condições de tratado e controle, assim, o resultado observado é dado por +
Considere uma amostra com n1, observações pertencentes ao grupo dos tratados, e n0 unidades de controle, os quais foram selecionados aleatoriamente de uma população de tamanho N1 e N0 respectivamente \( {{n}_{1}}\le {{N}_{1}}~e~{{n}_{0}}\le {{N}_{0}}~ \). Seja \( {{D}_{i}}\in \left\{ 1,0 \right\} \) uma variável de tratamento binária, em que irá assumir o valor igual a 1 se a unidade i pertencer ao tratamento e 0 se pertencer ao grupo de controle. Seja X uma matriz que contém as observações de J variáveis exógenas de pré-tratamento; Xij corresponde o valor da j-ésima covariada da unidade i, tais que, Xi = (Xi1,Xi2,...,Xij), refere-se ao vetor de características da unidade i, e Xj refere-se ao vetor coluna com j-th covariada. A densidade das covariadas nas populações de tratamento e controle são dadas por \( {{f}_{X|D=1}}~e~{{f}_{X|D=0}} \) respectivamente. O resultado potencial Yi(Di) corresponde ao par de resultados para a unidade i dadas as condições de tratado e controle, assim, o resultado observado é dado por
-O Efeito Médio Tratamento sobre os Tratados (EMTT) é dado por . A primeira esperança pode ser diretamente identificada do grupo de tratados, mas a segunda corresponde ao contrafactual, o qual não é observado. Assumindo seleção nos observáveis, \( Y\left( 0 \right)\bot D|X \), e sobreposição, Pr(D=1|X=x) menor que 1 para todo x no suporte de \( ~{{f}_{X|D=1}} \) o EMTT é identificado como:
+O Efeito Médio Tratamento sobre os Tratados (EMTT) é dado por . A primeira esperança pode ser diretamente identificada do grupo de tratados, mas a segunda corresponde ao contrafactual, o qual não é observado. Assumindo seleção nos observáveis, \( Y\left( 0 \right)\bot D|X \), e sobreposição, Pr(D=1|X=x) menor que 1 para todo x no suporte de \( ~{{f}_{X|D=1}} \) o EMTT é identificado como:
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