Definitions

Определение №1 (О конечных разностях)

Пусть для некоторой точки $x_0$ задано $n+1$ узлов интерполяции $x_k=x_0+i \cdot h$, $k=0,...,n$ с шагом $h > 0$ и известны значения функции $f$ в этих точках. А так же определен порядок $m > 0$.

Тогда можно определить следующие понятия:

• Восходящая разность: $$\Delta_h^1 (f, x) = f(x+h) - f(x)$$ $$\Delta_h^2 (f, x) = f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x)$$ $$\Delta_h^m (f, x) = \sum_{i=0}^{\infty}{ (-1)^{m-i} {m \choose i} f(x+ih) }$$
• Низходящая разность: $$\nabla_h^1 (f, x) = f(x) - f(x-h)$$ $$\nabla_h^2 (f, x) = f(x) - 2f(x-h) + f(x-2h)$$ $$\nabla_h^m (f, x) = \sum_{i=0}^{\infty}{ (-1)^{i} {m \choose i} f(x-ih) }$$
• Центральная разность: $$\delta_h^1 (f, x) = f(x+\frac{h}{2}) - f(x-\frac{h}{2})$$ $$\delta_h^2 (f, x) = f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)$$ $$\delta_h^m (f, x) = \sum_{i=0}^{\infty}{ (-1)^{i} {m \choose i} f\left(x+(\frac{m}{2}-i)h\right) }$$

где: $${m \choose i} = C^i_m = \frac{m!}{i!(m-i)!} = \frac{\Gamma(m+1)}{\Gamma(i+1)\Gamma(m-i+1)}$$

m=0							1
m=1						1		-1
m=2					1		-2		1
m=3				1		-3		3		-1
m=4			1		-4		6		-4		1
m=5		1		-5		10		-10		5		-1
m=6	1		-6		15		-20		15		-6		1

---

Утверждение №1

$$\boxed{(-1)^iC_m^i = \frac{\Gamma(i-m)}{\Gamma(-m)\Gamma(i+1)}; i,m \in Z}$$ Доказательство: сделаем преобразования над $\frac{\Gamma(m+1)}{\Gamma(m-i+1)}$.

Учтём, что: $\Gamma(1-z)\Gamma(z) = \frac{\pi}{sin(\pi z)} \Rightarrow \Gamma(z) = \frac{\pi}{\Gamma(1-z)sin(\pi z)}$. Тогда:

$$\frac{\Gamma(m+1)}{\Gamma(m-i+1)} = \frac{m}{m-i} \cdot \frac{\Gamma(m)}{\Gamma(m-i)} =$$

$$= \frac{m}{m-i} \cdot \frac{\pi}{\Gamma(1-m)sin(\pi m)} \cdot \frac{\Gamma(i-m+1)sin(\pi (m-i))}{\pi} =$$

$$= \frac{m}{m-i} \cdot \frac{\Gamma(i-m+1)sin(\pi (m-i))}{\Gamma(1-m)sin(\pi m)} =$$

$$= \frac{sin(\pi (m-i))}{sin(\pi m)} \cdot \frac{\Gamma(i-m)}{\Gamma(-m)} = (-1)^i\frac{\Gamma(i-m)}{\Gamma(-m)} \Rightarrow ч.т.д.$$

---

Определение №2 (Право/лево-сторонние производные)

Пусть нам дана функция $f(x)$, которая определена справа(1)/слева(2) в некоторой окрестности точки $x$. Тогда:

1. Правосторонней производной называется предел:

$$\frac{d^+}{dx}f(x) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{\Delta_h^1(f, x)}{h}}$$

2. Левосторонней производной называется предел:

$$\frac{d^-f(x)}{dx} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x)-f(x-h)}{h}} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{\nabla_h^1(f, x)}{h}}$$

---

Определение №3 (Производная Римана-Лиувилля)

Производной Римана-Лиувилля называется следующие выражения:

1. Правосторонней производной называется выражение:

$$D_{b-}^\alpha f(x) = \frac{(-1)^m}{\Gamma(m-\alpha)}\frac{d^m}{dx^m} \int\limits_{x}^{b}{\frac{f(s)}{(s-x)^{1+\alpha-m}}ds}$$

2. Левосторонней производной называется выражение:

$$D_{a+}^\alpha f(x) = \frac{1}{\Gamma(m-\alpha)}\frac{d^m}{dx^m} \int\limits_{a}^{x}{\frac{f(s)}{(x-s)^{1+\alpha-m}}ds}$$

где $m = \lceil a \rceil$.

---

Утверждение №2

Введем оператор $E^t: f(x) \rightarrow f(x+t)$. Обозначим $I=E^0$. Тогда:

$$\boxed{(E^{-h})^n = E^{-nh}}$$

Доказательство: По индукции:

1. $(E^{-h})^1f(x) = f(x-h) = E^{-1 \cdot h}f(x)$
2. $(E^{-h})^2f(x) = (E^{-h})(E^{-h})f(x) = (E^{-h})f(x-h) = f(x-2h) = E^{-2h}$
3. $(E^{-h})^{k+1}f(x) = (E^{-h})(E^{-h})^{k}f(x) = (E^{-h})f(x-kh) = f(x-(k+1)h) = E^{-(k+1)h}f(x)$

---

Определение №4 (Производная Грюнвальда-Летникова)

Производной Грюнвальда-Летникова называются следующие пределы:

1. Правосторонней производной называется предел:

$$D_{b-}^\alpha f(x) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{\Delta_{h}^\alpha(f, x)}{h^\alpha}} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{(-1)^{\lceil \alpha \rceil}}{h^\alpha}}\sum_{i=0}^{\infty}{ (-1)^{i} {\alpha \choose i} f(x+ih) }$$

2. Левосторонней производной называется предел:

$$D_{a+}^\alpha f(x) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{\nabla_h^\alpha(f, x)}{h^\alpha}} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{1}{h^\alpha}}\sum_{i=0}^{\infty}{ (-1)^{i} {\alpha \choose i} f(x-ih) }$$

$D_{b-}^n f(x) = f^n_+(x); n \in Z$

$D_{a+}^n f(x) = f^n_-(x); n \in Z$

Вывод:

$$\frac{d}{dx}f(x) \approx \frac{f(x) - f(x - h)}{h} = \frac{(I-E^{-h})f(x)}{h}$$

$$\frac{(I-E^{-h})^nf(x)}{h^n} = \frac{1}{h^n} \sum_{i=0}^{n}{(-1)^{i} {n \choose i} I^{n-i}(E^{-h})^{i}f(x)} =$$ $$= \frac{1}{h^n} \sum_{i=0}^{n}{(-1)^{i}{n \choose i}f(x-ih)} \approx \frac{d^n}{dx^n}f(x)$$

Из рядов Тейлора имеем:

$$(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty}{{n \choose k}x^k}; |x| \leq 1 (\text{при } \alpha \geq 0)$$

А так как:

$$\lim_{h \rightarrow 0}||E^{-h}|| = \lim_{h \rightarrow 0}\left(\sup_{||f(x)||=1}||f(x-h)|| \right)\leq 1$$

Можно записать для $\alpha>0$; $h \rightarrow 0$:

$$\frac{(I-E^{-h})^\alpha f(x)}{h^\alpha} = \frac{1}{h^\alpha} \sum_{i=0}^{\infty}{(-1)^{i}{\alpha \choose i}f(x-ih)} \approx \frac{d^\alpha}{dx^\alpha}f(x)$$

---