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Other/例题/高数1真题/数一2010.md

@@ -108,7 +108,7 @@
 
 ### (4)  
  答 应选(D).  
-- $\displaystyle \begin{aligned} 原式 =\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{n^3}{(n+i)\left(n^2+j^2\right)} \frac{1}{n^2} \end{aligned}$
+- $\displaystyle \begin{aligned} $原式$ =\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{n^3}{(n+i)\left(n^2+j^2\right)} \frac{1}{n^2} \end{aligned}$
 	- $\displaystyle \begin{aligned} \xlongequal[]{提取\frac{1}{n^2} }\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)\left(1+\left(\frac{j}{n}\right)^2\right)} \cdot \frac{1}{n^2} \end{aligned}$
 	- $\displaystyle \begin{aligned}\xlongequal[]{\frac{i}{n}=x, \frac{j}{n}=y}\int_0^1 d x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)\left(1+y^2\right)} d y\end{aligned}$
 
@@ -571,14 +571,14 @@ X & 1 & 2 & 3 \\
 P & 1-\theta & \theta-\theta^{2} & \theta^{2}
 \end{array}
 $$
-其中参数 $\theta \in(0,1)$ 末知. 以 $N_{i}$ 表示来自总体 $X$ 的简单随机样本 (样本容量为 $n$ ) 中等于 $i$ 的 个数 $(i=1,2,3)$. 试求常数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, 使 $\displaystyle T=\sum_{i=1}^{3} a_{i} N_{i}$ 为 $\theta$ 的无偏估计量, 并求 $T$ 的方差.  
+$其中参数$ $\theta \in(0,1)$ $末知$. $以$ $N_{i}$ $表示来自总体$ $X$ $的简单随机样本$ (样本容量为 $n$ ) $中等于$ $i$ $的$ $个数$ $(i=1,2,3)$. $试求常数$ $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, $使$ $\displaystyle T=\sum_{i=1}^{3} a_{i} N_{i}$ $为$ $\theta$ $的无偏估计量$, $并求$ $T$ $的方差$.  
 
 ### (23)  
- 解 记 $p_1=1-\theta, p_2=\theta-\theta^2, p_3=\theta^2$. 由于 $N_i \sim B\left(n, p_i\right), i=1,2,3$, 故  
-- $E N_i=n p_i \text {, }$于是  
-- $E T=a_1 E N_1+a_2 E N_2+a_3 E N_3=n\left[a_1(1-\theta)+a_2\left(\theta-\theta^2\right)+a_3 \theta^2\right] .$为使 $T$ 是 $\theta$ 的无偏估计量, 必有  
-- $n\left[a_1(1-\theta)+a_2\left(\theta-\theta^2\right)+a_3 \theta^2\right]=\theta,$因此  
-- $a_1=0, a_2-a_1=\frac{1}{n}, a_3-a_2=0,$由此得  
-- $a_1=0, a_2=a_3=\frac{1}{n} \text {. }$由于 $N_1+N_2+N_3=n$, 故  
-- $T=\frac{1}{n}\left(N_2+N_3\right)=\frac{1}{n}\left(n-N_1\right)=1-\frac{N_1}{n} .$注意到 $N_1 \sim B(n, 1-\theta)$, 故  
+ $解$ $记$ $p_1=1-\theta, p_2=\theta-\theta^2, p_3=\theta^2$. $由于$ $N_i \sim B\left(n, p_i\right), i=1,2,3$, $故$  
+- $E N_i=n p_i \text {, }于是$  
+- $E T=a_1 E N_1+a_2 E N_2+a_3 E N_3=n\left[a_1(1-\theta)+a_2\left(\theta-\theta^2\right)+a_3 \theta^2\right] .为使$ $T$ $是$ $\theta$ $的无偏估计量$, $必有$  
+- $n\left[a_1(1-\theta)+a_2\left(\theta-\theta^2\right)+a_3 \theta^2\right]=\theta,因此$  
+- $a_1=0, a_2-a_1=\frac{1}{n}, a_3-a_2=0,由此得$  
+- $a_1=0, a_2=a_3=\frac{1}{n} \text {. }由于$ $N_1+N_2+N_3=n$, $故$  
+- $T=\frac{1}{n}\left(N_2+N_3\right)=\frac{1}{n}\left(n-N_1\right)=1-\frac{N_1}{n} .注意到$ $N_1 \sim B(n, 1-\theta)$, $故$  
 - $D T=\frac{1}{n^2} D N_1=\frac{n(1-\theta) \theta}{n^2}=\frac{(1-\theta) \theta}{n} .$

Other/例题/高数1真题/数一2011.md

@@ -21,7 +21,7 @@
     \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5) node[above] {$y$};
 
     % 限制 y 轴高度，防止数值过大
-    \draw[smooth, thick, domain=0.5:4.2, samples=100] 
+    \draw[smooth, thick, domain=0.2:4.2, samples=100] 
         plot (\x, {max(-1.5, min(2.5, (\x-1)*(\x-2)^2*(\x-3)^3*(\x-4)^4))});
 
     % 关键点标注
@@ -89,11 +89,11 @@
     - 比较积分 $I$, $J$, 和 $K$ 的大小  
        - $I$, $J$, $K$ 都是特定的积分表达式  
        - 他们都同属于同一个区间：$\displaystyle \int_0^\pi$  
-- 比较 $I$ 和 $K$ 的大小，就是比较$\ln (\sin x) 与 \ln (\cos x)$的大小  
+- 比较 $I$ 和 $K$ 的大小，就是比较$\ln (\sin x) $与$ \ln (\cos x)$的大小  
     - 对于 $x \in (0, \frac{\pi}{4})$, 比较 $\sin x$ 和 $\cos x$  
        - 由 $0 < \sin x < \cos x\xrightarrow[]{\ln x是增函数}\ln (\sin x)<\ln (\cos x)$ ​  
        - 函数大，积分就大，两端取积分，因此 $\displaystyle I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x) \mathrm{d}x < \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos x) \mathrm{d}x = K$  
-- 比较 $J$ 和 $K$ 的大小，就是$\ln (\cot x) 与 \ln (\cos x)$的大小  
+- 比较 $J$ 和 $K$ 的大小，就是$\ln (\cot x) $与$ \ln (\cos x)$的大小  
     - 分解 $J$ 的表达式  
        - 由$\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x}$，取对数，然后在 $(0, \frac{\pi}{4})$ 上积分  
           - 得$\displaystyle J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cot x) \mathrm{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos x) \mathrm{d}x - \underbrace{\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x) \mathrm{d}x}_{<0}$  
@@ -157,12 +157,12 @@
 ### (8)  
 解  
 - 不要想得太复杂了, 由于 $U$ 是 $X$ 和 $Y$ 中的较大者, $V$ 是 $X$ 和 $Y$ 中的较小的  
-    - 故 $U$ 和 $V$ 总有一个取的是 $X, 一$ 个取的是 $Y$,  
+    - 故 $U$ 和 $V$ 总有一个取的是 $X, $一 个取的是 $Y$,  
     - 因此$U V=X Y \text { 或 } U V=Y X$  
 - 总之, 总有 $U V=X Y$, 也有 $U+V=X+Y$.  
     - $\displaystyle \begin{array}{l}\text { 当 } X \geqslant Y \text { 时, } U=X, V=Y ; \\\text { 当 } X<Y \text { 时, } U=Y, V=X,\end{array}$  
 - 所以总有 $U V=X Y$  
-    - 又因为随机变量 $X$ 与 $Y$\text { 相互独立, 从而 } E U V=E X Y\xlongequal[]{独立}E X \cdot E Y \text {. }$    故选 (B) .   答 应选(B).  解 本题考查相互独立随机变简单函数的数字特征. 利用 $U V=\max \{X, Y\} \cdot \min \{X, Y\}=X Y$ 及随 机变量相互独立的性质计算即可.  因为 $U V=X Y$,且 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 故 $E(U V)=E X \cdot E Y$, 即应选 (B).  
+    - 又因为随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 从而 $E U V=E X Y\xlongequal[]{独立}E X \cdot E Y \text {. }$    故选 (B) .   答 应选(B).  解 本题考查相互独立随机变简单函数的数字特征. 利用 $U V=\max \{X, Y\} \cdot \min \{X, Y\}=X Y$ 及随 机变量相互独立的性质计算即可.  因为 $U V=X Y$,且 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 故 $E(U V)=E X \cdot E Y$, 即应选 (B).  
 - 注 $U=\max \{X, Y\}=\frac{X+Y+|X-Y|}{2}, V=\min \{X, Y\}=\frac{X+Y-|X-Y|}{2}$, 于是$U+V=X+Y, U-V=|X-Y|, U V=X Y .$
 ## (9)
    曲线 $\displaystyle y=\int_{0}^{x} \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长 $s=$        

Other/例题/高数1真题/数一2012.md

@@ -55,8 +55,9 @@
   - 小总结：将每个项分别展开并计算极限。  
   - 计算步骤  
     1. 对于分子的第一项,将其和分母$x$进行等价:$\operatorname*{lim}_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}-1}{x}=1$    2. 将$x=0$代入剩余各项：$e^{2×0} - 2＝1-2＝-1$，$e^{k×0} - k ＝1-k＝-(n-1)$（对于 $k = 2, \ldots, n$）。  
-    3. 计算乘积的极限：  
-    1. 每一项都是负的,除去第一项为$1$,还有$n-1$项,因此,${(-1)^{n-1}}$      2. 当 $x \rightarrow 0$，得到 $f'(0) = (-1)^{n-1}(n-1)!$。  
+    2. 计算乘积的极限：  
+    3. 每一项都是负的,除去第一项为$1$,还有$n-1$项,因此,${(-1)^{n-1}}$      
+    4. 当 $x \rightarrow 0$，得到 $f'(0) = (-1)^{n-1}(n-1)!$。  
 - 结论  
   - 整体思路的总结：  
     1. 利用导数的定义来计算 $f'(0)$。  
@@ -611,8 +612,8 @@
 - 问题 III：证明 $\displaystyle \widehat{\sigma^2}$ 是无偏估计量  
     - 证明无偏估计就是计算期望  
        - 计算 $\displaystyle \widehat{\sigma^2}$ 的期望  
-          - $\displaystyle E(\widehat{\sigma^2}) =\frac{1}{3 n} E\left(\sum_{i=1}^n z_i^2\right)\xlongequal[]{将求和提出来} \frac{1}{3n}\sum_{i=1}^n E(Z_i^2)$  
-          - $\xlongequal[]{求和就是乘n}\frac{1}{3 n} \cdot n E\left(z^2\right)\xlongequal[转化为求期望和方差]{求平方的期望}\frac13(D z+\underbrace{{Ez}^2}_{正态=0})$  
+          - $\displaystyle E(\widehat{\sigma^2}) =\frac{1}{3 n} E\left(\sum_{i=1}^n z_i^2\right)\xlongequal[]{\text{将求和提出来}} \frac{1}{3n}\sum_{i=1}^n E(Z_i^2)$  
+          - $\xlongequal[]{\text{求和就是乘}n}\frac{1}{3 n} \cdot n E\left(z^2\right)\xlongequal[\text{转化为求期望和方差}]{\text{求平方的期望}}\frac13(D z+\underbrace{{Ez}^2}_{\text{正态}=0})$  
           - 展开并简化  
              - $\displaystyle E(\widehat{\sigma^2}) =\frac{1}{3}DZ = \sigma^2$  
        - 得出结论  

test.md

@@ -4,6 +4,4 @@ tags:
 dlink:
   - "[[-高等数学-]]"
 ---
-啊阿斯蒂芬$f(x)$啊犯贱犯贱犯贱犯贱$>02309586$我操;阿里山扩大飞机 
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+$\xlongequal[]{\text{求和就是乘}n}\frac{1}{3 n} \cdot n E\left(z^2\right)\xlongequal[\text{转化为求期望和方差}]{\text{求平方的期望}}\frac13(D z+\underbrace{{Ez}^2}_{\text{正态}=0})$ 我操真的服了了