docs: add Quantum Ch.7 Quantum Gates and Circuits

Author: Xecades

docs/config.yml

@@ -7,6 +7,7 @@ nav:
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docs/cs/quantum/quantum-gates-and-circuits.md

@@ -0,0 +1,249 @@
+---
+title: Ch.7 Quantum Gates and Circuits
+---
+
+本章将上一章所讲的可逆门电路带入量子计算当中，并介绍了一些基础量子电路的实现. 从本章开始，假设所有的测量装置**都是固定的**，我们用 $(\ket{0}, \ket{1})$ 来替代之前使用的 $(\ket{\uparrow}, \ket{\downarrow})$.
+
+---
+
+## 量子 CNOT 门
+
+上一章提到的经典 CNOT 门对应如下左图真值表，我们将其写成右图的**张量形式**：
+
+::grid{gap=5px}
+:sep{span=11}
+```typst 经典 CNOT 门
+#show table.cell.where(y: 1): text.with(weight: "bold")
+#table(
+    columns: 4,
+    inset: 9pt,
+    align: horizon + center,
+    stroke: none,
+    table.hline(y: 0, stroke: 2pt),
+    table.hline(y: 1),
+    table.hline(y: 2, stroke: 2pt),
+    table.vline(x: 2, stroke: 2pt),
+    table.vline(x: 1),
+    table.vline(x: 3),
+    table.header(table.cell(colspan: 2)[*Input*], table.cell(colspan: 2)[*Output*]),
+    $bold(x)$, $bold(y)$, $bold(x)$, $bold(x xor y)$,
+    [0], [0], [0], [0],
+    [0], [1], [0], [1],
+    [1], [0], [1], [1],
+    [1], [1], [1], [0]
+)
+```
+
+:sep{span=2 .center}
+$\Longrightarrow$
+
+:v{3rem}
+
+:sep{span=11}
+```typst 量子 CNOT 门
+#import "@preview/physica:0.9.4": *
+#show table.cell.where(y: 1): text.with(weight: "bold")
+#table(
+    columns: 2,
+    inset: 9pt,
+    align: horizon + center,
+    stroke: none,
+    table.hline(y: 0, stroke: 2pt),
+    table.hline(y: 1, stroke: 2pt),
+    table.vline(x: 1, stroke: 2pt),
+    table.header([*Input*], [*Output*]),
+    $ket(00)$, $ket(00)$,
+    $ket(01)$, $ket(01)$,
+    $ket(10)$, $ket(11)$,
+    $ket(11)$, $ket(10)$
+)
+```
+::
+
+量子 CNOT 门的函数表达可以写成如下形式，其作用可直观理解为**将 $\ket{10}$ 和 $\ket{11}$ 的概率振幅互换**.
+
+$$
+\text{CNOT}(r\ket{00} + s\ket{01} + t\ket{10} + u\ket{11}) = r\ket{00} + s\ket{01} + u\ket{10} + t\ket{11}
+$$
+
+经典 CNOT 门中，控制位的输入输出是一样的，但**量子 CNOT 门并不是这样**. 假设第一个输入为 $\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{0}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{1}$，第二个输入为 $\ket{0}$，将其写为张量的形式，即
+
+$$
+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{0}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{1}\right)\oplus\ket{0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{00}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{10},
+$$
+
+经过 CNOT 门后，输出为 $\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{00}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{11}$，**这是一个纠缠态**. 我们用如下的电路图来表示这个过程：
+
+```typst
+#import "@preview/quill:0.6.0": *
+#import "@preview/physica:0.9.4": *
+#scale(180%, reflow: true, quantum-circuit(
+    lstick($1/sqrt(2)ket(0)+1/sqrt(2)ket(1)$), 1, ctrl(1), 1, rstick($1/sqrt(2)ket(00)+1/sqrt(2)ket(11)$, n:2), [\ ],
+    lstick($ket(0)$), 1, targ(), 1
+))
+```
+
+---
+
+## 单输入量子门
+
+在经典逻辑中，只有两种可能的单输入门：NOT 门和恒等门. 而由于量子态的叠加性质，我们可以**有无数种单输入量子门**. 最常用的有 **Pauli 门**和 **Hadamard 门**，其中 Pauli 门包括 **I 门**、**X 门**、**Y 门**和 **Z 门**.
+
+---
+
+### I 门和 Z 门
+
+**I 门对应恒等矩阵 $\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$**，其作用是保持输入不变.
+
+**Z 门对应矩阵 $\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$**，对于输入 $a_0\ket{0}+a_1\ket{1}$，其输出为
+
+$$
+Z(a_0\ket{0}+a_1\ket{1})=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_0\\a_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_0\\-a_1\end{bmatrix}=a_0\ket{0}-a_1\ket{1}.
+$$
+
+即保持 $\ket{0}$ 的概率振幅不变，而将 $\ket{1}$ 的概率振幅取反.
+
+更进一步，对于基态 $\ket{1}$，Z 门将其变为 $-\ket{1}$，而之前提到，$\ket{1}$ 和 $-\ket{1}$ 是等价的，因此 **Z 门对基态不产生任何影响**. 对于其他态，例如 $\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{0}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{1}$，输出为 $\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{0}-\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{1}$，**这是两个不同的量子态**，因此 **Z 门不等于 I 门**.
+
+对于这种只改变概率振幅的符号的门，我们称之为**相位门**（Phase Gate，在实际应用中，不止包括正负号的改变，还包括在复平面上的旋转）.
+
+---
+
+### X 门和 Y 门
+
+X 门和 Y 门**类似于传统布尔逻辑当中的 NOT 门**.
+
+$$
+X=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix},\quad Y=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}.
+$$
+
+---
+
+### Hadamard 门
+
+Hadamard 门又称 **H 门**，对应矩阵
+
+$$
+H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}.
+$$
+
+通常用于**将标准基 $\ket{0}$ 和 $\ket{1}$ 变为叠加态**.
+
+$$
+\begin{align*}
+H(\ket{0}) &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}+\ket{1}) \\[0.7em]
+H(\ket{1}) &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}-\ket{1})
+\end{align*}
+$$
+
+---
+
+我们通过在方框内加上对应符号来表示这些门：
+
+```typst
+#import "@preview/quill:0.6.0": *
+#scale(180%, reflow: true, quantum-circuit(
+    3, $H$, 3
+))
+```
+
+---
+
+## 存在通用量子门吗？
+
+在经典计算中，我们知道**任何逻辑电路都可以用 NAND 门和扇出实现**，也可以**只通过 Fredkin 门实现**. 那么在量子计算中，是否存在能够表示所有量子门的**通用量子门**呢？**答案是否定的**.
+
+在经典逻辑中，$n$ 个变量最多只会有 $2^n$ 个布尔函数，而之前我们提到，在量子计算中，仅仅是一个量子比特就有无穷多种量子门. 使用有限个量子门不可能表示无穷多的量子电路，因此**不存在通用量子门**.
+
+尽管如此，我们还是有办法通过有限的门来**模拟**任何的量子电路（本书不会详细讨论这个问题）.
+
+---
+
+## 不可复制原理
+
+注意到 $\text{CNOT}(\ket{00})=\ket{00}$，$\text{CNOT}(\ket{10})=\ket{11}$，因此对于 $\ket{x}\in\{\ket{0},\ket{1}\}$，我们有 $\text{CNOT}(\ket{x0})=\ket{xx}$，也就是说 **CNOT 门可以复制经典比特**，也即 CNOT 门可以实现经典逻辑中的扇出.
+
+因此我们尝试思考，是否存在一个量子门可以**复制**任意的量子态？**可以证明，这样的门并不存在**. 这个结论被称为**不可复制原理**（No-Cloning Theorem）.
+
+假设这样的门 $G$ 存在，它输入量子态 $\ket{x}$ 和一个与 $\ket{x}$ 无关的辅助位 $\ket{k}$，将 $\ket{x}$ 复制后输出 $\ket{x}\ket{x}$，即
+
+```typst
+#import "@preview/quill:0.6.0": *
+#import "@preview/physica:0.9.4": *
+#scale(180%, reflow: true, quantum-circuit(
+    lstick($ket(x)$), 1, mqgate($G$, n: 2), 1, rstick($ket(x)$), [\ ],
+    lstick($ket(k)$), 3, rstick($ket(x)$)
+))
+```
+
+那么它一定满足：
+
+1. $G(\ket{0}\ket{k})=\ket{0}\ket{0}$.
+2. $G(\ket{1}\ket{k})=\ket{1}\ket{1}$.
+3. $G\left(\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ket{0}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ket{1}\right)\ket{k}\right)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ket{0}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ket{1}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ket{0}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ket{1}\right)$.
+
+其中第三个式子也可以写成
+
+$$
+G\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{0k}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{1k}\right)=\frac{1}{2}\ket{00}+\frac{1}{2}\ket{11}+\frac{1}{2}\ket{01}+\frac{1}{2}\ket{10}.
+$$
+
+由于 $G$ 的**线性性**，有 $G\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{0k}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{1k}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(G(\ket{0k})+G(\ket{1k}))=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}+\ket{11})$，与右式不符，矛盾，命题得证.
+
+---
+
+### 贝尔电路
+
+**贝尔电路**是一种常用的量子电路结构.
+
+```typst 贝尔电路
+#import "@preview/quill:0.6.0": *
+#scale(180%, reflow: true, quantum-circuit(
+    2, $H$, ctrl(1), 2, [\ ],
+    3, targ(), 2
+))
+```
+
+传入 $\mathbb{R}^4$ 的常用标准正交基，输出一定也是一组标准正交基，它们被称为**贝尔态**.
+
+$$
+\begin{align*}
+B(\ket{00}) &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}+\ket{11}), \quad B(\ket{01}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{01}+\ket{10}), \\[1em]
+B(\ket{10}) &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}-\ket{11}), \quad B(\ket{11}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{01}-\ket{10}).
+\end{align*}
+$$
+
+由于 CNOT 门和 Hadamard 门都是可逆的，因此**贝尔电路也是可逆的**.
+
+```typst 逆贝尔电路
+#import "@preview/quill:0.6.0": *
+#scale(180%, reflow: true, quantum-circuit(
+    2, ctrl(1), $H$, 2, [\ ],
+    2, targ()
+))
+```
+
+---
+
+## 密集编码
+
+**密集编码**（Superdense Coding）是一种量子通信协议，它可以**用一个量子比特传输两个比特的信息**.
+
+首先制备纠缠态为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}+\ket{11})$（**贝尔态**）的两个量子比特，分别交给 Alice 和 Bob. Alice 想要通过手里的**一个量子比特**传输**两个传统比特**的信息给 Bob，她进行如下操作：
+
+1. 如果想要传输的信息是 $00$，她不做任何操作.
+2. 如果想要传输的信息是 $01$，她对自己的量子比特应用 X 门.
+3. 如果想要传输的信息是 $10$，她对自己的量子比特应用 Z 门.
+4. 如果想要传输的信息是 $11$，她对自己的量子比特应用 Y 门.
+
+这些操作的输出**恰好为一组贝尔态**，可以通过**逆贝尔电路**来解码.
+
+Alice 将处理完成的量子比特**交给 Bob**，Bob 对这 Alice 的量子比特和自己的量子比特进行**逆贝尔电路**操作，即可得到 Alice 想要传输的信息.
+
+---
+
+## 量子隐形传态
+
+**量子隐形传态**（Quantum Teleportation）
+
+写不动了，明天再写.