feat: Added Bellman-Ford Post

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+title: 'Algoritmo de Bellman-Ford'
+date: '2025-02-02'
+description: 'Descubra como o algoritmo de Bellman-Ford resolve o problema do caminho mínimo em grafos, mesmo na presença de pesos negativos. Aprenda seus fundamentos teóricos, aplicações práticas e veja sua implementação passo a passo!'
+topics: ['algoritmos', 'grafos']
+authors:
+  - name: 'Nelson Nobre'
+    link: 'https://github.com/NelsonBN'
+  - name: 'Wilson Neto'
+    link: 'https://github.com/wilsonneto-dev'
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+## O que é o Algoritmo de Bellman-Ford?
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+O Algoritmo de Bellman-Ford é utilizado para encontrar o caminho mais curto a partir de uma única fonte em um grafo ponderado. Diferentemente do algoritmo de Dijkstra, ele pode lidar com pesos negativos nas arestas.
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+## Origem e História
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+O algoritmo foi inicialmente proposto por Alfonso Shimbel em 1955. Posteriormente, Richard Bellman e Lester R. Ford Jr. publicaram versões independentes do algoritmo em 1958 e 1956, respectivamente. Em 1959, Edward F. Moore também publicou uma variação do algoritmo, razão pela qual ele é, por vezes, denominado Algoritmo de Bellman-Ford-Moore.
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+Bellman, conhecido por desenvolver o conceito de programação dinâmica, aplicou essa técnica ao algoritmo, permitindo a resolução de problemas de otimização ao decompor problemas complexos em subproblemas mais simples.
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+## Características
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+O algoritmo se encaixa nas seguintes categorias:
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+* **Algoritmo de Grafos:** Resolve o problema relacionado ao caminho mais curto a partir de uma única fonte.
+* **Algoritmo de Programação Dinâmica:** Utiliza a ideia de subproblemas sobrepostos para calcular a menor distância de um vértice até todos os outros.
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+
+## Para que serve?
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+O Algoritmo de Bellman-Ford resolve o problema do caminho mínimo em grafos ponderados, mesmo quando existem **pesos negativos**. Além disso, ele pode detectar ciclos negativos, tornando-se essencial em diversas aplicações.
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+## Principais aplicações
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+* **Redes de Computadores:** Utilizado no Routing Information Protocol (RIP) para calcular rotas mais eficientes.
+* **Logística e Transporte:** Planejamento de trajetos e otimização de custos de transporte.
+* **Finanças:** Modelagem de arbitragem e identificação de inconsistências em taxas de câmbio.
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+## Quando usar?
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+O Bellman-Ford é a escolha certa quando:
+
+* **Pesos negativos estão presentes:** Diferente do Dijkstra, ele funciona corretamente mesmo com pesos negativos.
+* **É necessário detectar ciclos negativos:** Importante em cálculos financeiros e redes de fluxo.
+* **O número de arestas não é muito grande:** O algoritmo tem complexidade O(V × E), então é eficiente quando o grafo não é muito denso.
+Se o grafo não possui pesos negativos e exige uma solução mais rápida, Dijkstra pode ser uma opção melhor.
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+## Bellman-Ford vs. Dijkstra
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+| **Critério**                     | **Bellman-Ford**                                                | **Dijkstra**                                         |
+|----------------------------------|-----------------------------------------------------------------|------------------------------------------------------|
+| **Pesos negativos**              | ✅ Funciona corretamente                                        | ❌ Não funciona                                      |
+| **Detecção de ciclos negativos** | ✅ Sim                                                          | ❌ Não                                               |
+| **Complexidade**                 | `O(V × E)`                                                      | `O(V log V + E)` (com heap)                          |
+| **Melhor para**                  | Grafos com pesos negativos ou necessidade de detecção de ciclos | Grafos sem pesos negativos, onde rapidez é essencial |
+
+**Conclusão**: Use **Dijkstra** para eficiência quando **não houver pesos negativos**. Escolha **Bellman-Ford** se precisar lidar com **pesos negativos ou detectar ciclos negativos**.
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+
+## Conceitos fundamentais
+
+Antes de entender o funcionamento do **Algoritmo de Bellman-Ford**, é essencial conhecer alguns conceitos-chave sobre **grafos e caminhos mínimos**.
+
+### Grafos Direcionados e Não-Direcionados
+
+- Um **grafo direcionado** possui **arestas com direção**, ou seja, uma conexão **A → B** não significa que existe **B → A**.
+- Um **grafo não-direcionado** possui conexões **bidirecionais** (A ↔ B).
+- O **Bellman-Ford** pode ser aplicado a ambos, mas em **grafos não-direcionados** com pesos negativos, pode haver **ciclos negativos triviais**, tornando a solução indefinida.
+
+### Pesos nas arestas (Positivos e Negativos)
+
+- Cada aresta em um grafo pode ter um **peso** (ou custo), representando distância, tempo ou custo financeiro.
+- O **Dijkstra falha com pesos negativos**, pois assume que encontrar um caminho ótimo mais curto significa apenas **somar pesos**.
+- O **Bellman-Ford resolve esse problema**, permitindo caminhos mínimos **mesmo em grafos com pesos negativos**.
+
+### O conceito de relaxamento de arestas
+
+- O **relaxamento** é o processo central do Bellman-Ford. O algoritmo **atualiza repetidamente a menor distância conhecida** para cada vértice, garantindo que o caminho mínimo seja encontrado ao longo do tempo.
+- Se uma aresta **(U → V, peso W)** puder reduzir a distância para **V**, a atualização ocorre:
+
+```math
+dist(V) = min(dist(V), dist(U) + W)
+```
+
+### Detectando ciclos negativos
+
+- Se, após **V-1 iterações**, ainda houver uma **atualização possível**, significa que existe um **ciclo negativo**, ou seja, um caminho em que a soma dos pesos das arestas é negativa.
+- Isso causa um problema, pois significaria que o caminho poderia ser sempre reduzido indefinidamente
+
+
+## Funcionamento
+
+Agora que entendemos os conceitos fundamentais, vamos ver como o **algoritmo funciona na prática**.
+
+1. **Inicializar Distâncias:**
+   1. Definir um vértice de origem **S** e inicializar todas as distâncias como **infinito (∞)**, exceto o nó de origem, que recebe 0.
+2. **Relaxar Todas as Arestas V−1 Vezes:**
+   1. Para cada **aresta (u → v, peso w)**, atualizar a distância para **V** se encontrar um caminho mais curto via **U**.
+   2. Repetir esse processo **V-1** vezes (onde V é o número de vértices), garantindo que todas as possíveis melhorias sejam feitas.
+3. **Verificar Ciclos Negativos**
+   1. Percorrer todas as arestas novamente.
+   2. Se alguma aresta **ainda puder ser relaxada**, significa que há um **ciclo negativo** no grafo.
+
+### Passo a Passo Teórico
+
+A seguir, apresentamos um exemplo prático da execução do **Algoritmo de Bellman-Ford** usando um grafo direcionado e ponderado.
+
+```mermaid
+graph LR
+  A -->|4| B
+  A -->|2| D
+  B -->|2| C
+  B -->|3| D
+  B -->|3| E
+  D -->|1| B
+  D -->|6| C
+  D -->|4| E
+  E -->|-5| C
+```
+
+#### Passo 1:
+
+Semelhante ao algoritmo de Dijkstra, usaremos uma **tabela de distâncias** para rastrear os caminhos mais curtos. Teremos **uma linha para cada iteração** e **uma coluna para cada vértice**.
+
+O número de iterações do **Bellman-Ford** é igual ao **número de vértices menos um**:
+
+```math
+it = V-1
+```
+
+|       | A | B | C | D | E |
+|-------|---|---|---|---|---|
+| 1ª It |   |   |   |   |   |
+| 2ª It |   |   |   |   |   |
+| 3ª It |   |   |   |   |   |
+| 4ª It |   |   |   |   |   |
+
+Agora escolhemos o **vértice de origem**. Para este exemplo, vamos definir **A** como o ponto de partida.
+
+#### Passo 2
+
+Inicializamos a tabela preenchendo a **distância a partir do vértice A** para os outros vértices.
+A forma de representação será `(<Custo>, <Origem>)` e, caso o caminho seja impossível, indicamos `-`.
+
+|       | A      | B      | C | D      | E |
+|-------|--------|--------|---|--------|---|
+| 1ª It | (0, A) | (4, A) | - | (2, A) | - |
+| 2ª It |        |        |   |        |   |
+| 3ª It |        |        |   |        |   |
+| 4ª It |        |        |   |        |   |
+
+Após a **primeira iteração**, conseguimos chegar até:
+
+- **A** com o custo **0**;
+- **B** com o custo **4**;
+- **D** com o custo **2**.
+
+#### Passo 3
+
+Agora aplicamos o **relaxamento de arestas** baseado nas seguintes regras:
+
+1. **Se um novo vértice for acessível**, somamos o custo da aresta ao custo do vértice anterior.
+2. **Se já acessamos um vértice anteriormente**, verificamos se um **novo caminho reduz o custo**. Caso sim, atualizamos o valor (relaxamento).
+3. **Se nenhum novo caminho foi descoberto**, propagamos o custo da iteração anterior.
+
+Exemplo de atualizações:
+
+- **B**: Um novo caminho é descoberto passando por **D** → **B** com custo **(2 + 1) = 3**. Como **3 é menor que 4**, atualizamos o custo.
+- **D**: Já foi alcançado na iteração anterior, então permanece com custo **2**.
+- **C**: Pode ser acessado por **B → C (4 + 2 = 6)** ou **D → C (2 + 6 = 8)**. O menor custo é **6** via **B**.
+- **E**: Pode ser acessado por **B → E (4 + 3 = 7)** ou **D → E (2 + 4 = 6)**. O menor custo é **6** via **D**.
+
+|       | A      | B      | C      | D      | E      |
+|-------|--------|--------|--------|--------|--------|
+| 1ª It | (0, A) | (4, A) | -      | (2, A) | -      |
+| 2ª It | (0, A) | (3, D) | (6, B) | (2, A) | (6, D) |
+| 3ª It |        |        |        |        |        |
+| 4ª It |        |        |        |        |        |
+
+#### Passo 4
+
+Nesta iteração, observamos uma **nova possibilidade para C**:
+
+- **C** agora pode ser acessado por **E → C (6 + (-5) = 1)**. Como **1 é menor que 6**, atualizamos o custo.
+- **E** continua com **custo 6**, pois não há caminho melhor.
+
+|       | A      | B      | C      | D      | E      |
+|-------|--------|--------|--------|--------|--------|
+| 1ª It | (0, A) | (4, A) | -      | (2, A) | -      |
+| 2ª It | (0, A) | (3, D) | (6, B) | (2, A) | (6, D) |
+| 3ª It | (0, A) | (3, D) | (1, E) | (2, A) | (6, D) |
+| 4ª It |        |        |        |        |        |
+
+#### Passo 5
+
+- Nenhuma nova atualização ocorre.
+- Propagamos os valores da terceira iteração.
+
+|       | A      | B      | C      | D      | E      |
+|-------|--------|--------|--------|--------|--------|
+| 1ª It | (0, A) | (4, A) | -      | (2, A) | -      |
+| 2ª It | (0, A) | (3, D) | (6, B) | (2, A) | (6, D) |
+| 3ª It | (0, A) | (3, D) | (1, E) | (2, A) | (6, D) |
+| 4ª It | (0, A) | (3, D) | (1, E) | (2, A) | (6, D) |
+
+Após essa iteração, os menores caminhos foram determinados:
+
+- **A → A** = **0**
+- **A → B** = **3** (A → D → B)
+- **A → C** = **1** (A → D → E → C)
+- **A → D** = **2** (A → D)
+- **A → E** = **6** (A → D → E)
+
+### **Detecção de Ciclo Negativo**
+
+Agora, introduzimos um **grafo com ciclo negativo** para ilustrar sua detecção.
+
+```mermaid
+graph LR
+  A -->|4| B
+  A -->|2| D
+  B -->|2| C
+  B -->|3| D
+  B -->|3| E
+  C -->|4| D
+  D -->|1| B
+  D -->|4| E
+  E -->|-9| C
+```
+
+Após **V-1 iterações**, fazemos uma **iteração extra**:
+
+|       | A      | B      | C      | D      | E       |
+|-------|--------|--------|--------|--------|---------|
+| 1ª It | (0, A) | (4, A) | -      | (2, A) | -       |
+| 2ª It | (0, A) | (3, D) | (6, B) | (2, A) | (6, D)  |
+| 3ª It | (0, A) | (3, D) | (-3, E) | (2, A) | (6, D) |
+| 4ª It | (0, A) | (3, D) | (-3, E) | (1, C) | (6, D) |
+| Extra | (0, A) | (2, D) | (-4, E) | (0, C) | (5, D) |
+
+Como **há mudança na iteração extra**, detectamos um **ciclo negativo**.
+
+
+## Complexidade Assintótica
+
+A eficiência de um algoritmo é medida pela sua **complexidade assintótica**, que nos dá uma ideia de seu desempenho conforme o número de **vértices (V)** e **arestas (E)** do grafo cresce.
+
+### **Pior Caso: O(VE)**
+
+- O algoritmo executa o **relaxamento de todas as arestas V−1 vezes** no pior caso. Como há **E arestas**, o total de operações será:
+
+```math
+O( (V−1) ×E ) = O(V × E)
+```
+
+- Esse pior caso acontece quando o grafo **não está otimizado** e cada relaxamento melhora uma distância, exigindo todas as iterações.
+
+
+## Desafios e Limitações
+
+- **Tempo de Execução**: Com complexidade `O(V x E)`, Bellman-Ford pode ser **lento em grafos grandes**.
+- **Não é eficiente para grafos sem pesos negativos**: O **Dijkstra** é uma alternativa mais eficiente quando não há pesos negativos.
+- **Ciclos Negativos podem tornar a solução inválida**: Se um ciclo negativo for detectado, o algoritmo informa sua existência, mas **não pode calcular caminhos mínimos confiáveis**, pois o custo pode ser reduzido indefinidamente.
+
+
+## Possíveis Otimizações
+
+- **Encerramento antecipado**: Se nenhuma aresta for relaxada em uma iteração, o algoritmo pode ser encerrado antes de completar **V-1** iterações.
+- **Versão otimizada com fila (SPFA - Shortest Path Faster Algorithm)**: Usa uma **fila** para processar apenas os vértices que podem ser melhorados, reduzindo o número de relaxamentos.